次の関数の最大値と最小値を、与えられた定義域内で求めます。 (1) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 \le x \le 2$) (2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 3$) (3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$) (4) $y = -2x^2 + 12x$ ($0 \le x \le 6$)

1. 問題の内容

次の関数の最大値と最小値を、与えられた定義域内で求めます。

(1) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 \le x \le 2$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 3$)

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$)

(4) $y = -2x^2 + 12x$ ($0 \le x \le 6$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 \le x \le 2$)

平方完成します。

$y = (x+1)^2 + 2$

頂点の座標は $(-1, 2)$ です。

定義域 $-2 \le x \le 2$ において、

$x = -1$ のとき、最小値 $y = 2$

$x = 2$ のとき、最大値 $y = 2^2 + 2(2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 3$)

平方完成します。

$y = -(x-2)^2 + 1$

頂点の座標は $(2, 1)$ です。

定義域 $0 \le x \le 3$ において、

$x = 2$ のとき、最大値 $y = 1$

$x = 0$ のとき、最小値 $y = -3$

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$)

平方完成します。

$y = 3(x+1)^2 - 4$

頂点の座標は $(-1, -4)$ ですが、これは定義域外です。

定義域 $1 \le x \le 3$ において、

$x = 1$ のとき、最小値 $y = 3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$

$x = 3$ のとき、最大値 $y = 3(3)^2 + 6(3) - 1 = 27 + 18 - 1 = 44$

(4) $y = -2x^2 + 12x$ ($0 \le x \le 6$)

平方完成します。

$y = -2(x-3)^2 + 18$

頂点の座標は $(3, 18)$ です。

定義域 $0 \le x \le 6$ において、

$x = 3$ のとき、最大値 $y = 18$

$x = 0$ または $x = 6$ のとき、最小値 $y = 0$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 11, 最小値: 2

(2) 最大値: 1, 最小値: -3

(3) 最大値: 44, 最小値: 8

(4) 最大値: 18, 最小値: 0