(1) $x$ についての不等式 $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ …① について、 - $x=3$ が不等式①を満たすときの、定数 $a$ の値の範囲を求める。 - 不等式①を満たす実数 $x$ が存在するときの、定数 $a$ の値の範囲を求める。 - そのときの不等式①の解を求める。 (2) 正の数 $x$ に対して $\frac{5x+19}{2}$ を計算し、その小数第1位を四捨五入すると、整数 $7x+1$ に等しくなった。このような正の数 $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x$ についての不等式 $\frac{x+a}{2} < x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ …① について、

- $x=3$ が不等式①を満たすときの、定数 $a$ の値の範囲を求める。

- 不等式①を満たす実数 $x$ が存在するときの、定数 $a$ の値の範囲を求める。

- そのときの不等式①の解を求める。

(2) 正の数 $x$ に対して $\frac{5x+19}{2}$ を計算し、その小数第1位を四捨五入すると、整数 $7x+1$ に等しくなった。このような正の数 $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

- $x=3$ を不等式①に代入すると、$\frac{3+a}{2} < 3+2 < \frac{2(3)+2a+7}{3}$

$\frac{3+a}{2} < 5 < \frac{13+2a}{3}$

まず、$\frac{3+a}{2} < 5$ より、 $3+a < 10$ よって $a < 7$

次に、 $5 < \frac{13+2a}{3}$ より、 $15 < 13+2a$ よって $2 < 2a$ ゆえに $a > 1$

したがって、$1 < a < 7$

- 不等式①を変形する。

$\frac{x+a}{2} < x+2$ より、$x+a < 2x+4$ よって $x > a-4$

$x+2 < \frac{2x+2a+7}{3}$ より、$3x+6 < 2x+2a+7$ よって $x < 2a+1$

したがって、$a-4 < x < 2a+1$

不等式①を満たす実数 $x$ が存在するためには、$a-4 < 2a+1$ が必要。

$a-4 < 2a+1$ より、$-5 < a$ よって $a > -5$

このとき、不等式①の解は $a-4 < x < 2a+1$ となる。

(2)

$\frac{5x+19}{2}$ を四捨五入したものが $7x+1$ になるので、

$7x+1 - 0.5 < \frac{5x+19}{2} < 7x+1 + 0.5$

$7x+0.5 < \frac{5x+19}{2} < 7x+1.5$

$14x+1 < 5x+19 < 14x+3$

$14x+1 < 5x+19$ より、$9x < 18$ よって $x < 2$

$5x+19 < 14x+3$ より、 $16 < 9x$ よって $x > \frac{16}{9}$

したがって、$\frac{16}{9} < x < 2$

$x$ は正の数なので、あり得る整数を考えると、

$1.77... < x < 2$ なので、例えば$x=\frac{17}{10}, x=\frac{18}{10}$などを代入していく。

$x=\frac{17}{10}$のとき、$\frac{5x+19}{2} = \frac{5(1.7)+19}{2} = \frac{8.5+19}{2} = \frac{27.5}{2} = 13.75$、これを四捨五入すると$14$。

また、$7x+1 = 7(\frac{17}{10})+1 = \frac{119}{10}+1 = 11.9+1 = 12.9$、これを四捨五入すると$13$。これらは等しくないので不適。

$x=\frac{18}{10} = \frac{9}{5}$のとき、$\frac{5x+19}{2} = \frac{5(\frac{9}{5})+19}{2} = \frac{9+19}{2} = \frac{28}{2} = 14$。

また、$7x+1 = 7(\frac{9}{5})+1 = \frac{63}{5}+1 = 12.6+1 = 13.6$、これを四捨五入すると$14$。これらは等しいので適する。

$x=\frac{9}{5}$

$x=1.8$

$x=2$に近い解を試す。

$x=1.9$のとき、$\frac{5x+19}{2} = \frac{5(1.9)+19}{2} = \frac{9.5+19}{2} = \frac{28.5}{2} = 14.25$、これを四捨五入すると$14$。

また、$7x+1 = 7(1.9)+1 = 13.3+1 = 14.3$、これを四捨五入すると$14$。

$x=\frac{19}{10}$

$\frac{16}{9} < x < 2$の範囲で四捨五入した値が等しい数を探すと、$x=\frac{9}{5}=1.8$と$x=\frac{19}{10}=1.9$が見つかる。

$x=1.8=\frac{9}{5}$のとき、$7x+1 = 7(1.8)+1 = 12.6+1 = 13.6$。$\frac{5x+19}{2} = \frac{5(1.8)+19}{2} = \frac{9+19}{2} = \frac{28}{2}=14$。

$\frac{5x+19}{2}$を四捨五入すると$14$、$7x+1$を四捨五入すると$14$で等しい。

$x=1.9=\frac{19}{10}$のとき、$7x+1 = 7(1.9)+1 = 13.3+1 = 14.3$。$\frac{5x+19}{2} = \frac{5(1.9)+19}{2} = \frac{9.5+19}{2} = \frac{28.5}{2}=14.25$。

$\frac{5x+19}{2}$を四捨五入すると$14$、$7x+1$を四捨五入すると$14$で等しい。

$x=3$のとき、$7x+1 = 7(3)+1 = 22$。$\frac{5x+19}{2} = \frac{5(3)+19}{2} = \frac{15+19}{2} = \frac{34}{2}=17$。四捨五入で等しくないので不適。

仮に$7x+1$が整数になるとき、$x=3$の場合は不適。

上記計算から$x=\frac{19}{10}$の時、$14.25$なので四捨五入すると、$14$。$7(\frac{19}{10})+1=14.3$なので四捨五入すると$14$になる。

$x=\frac{9}{5}$の時、$7(\frac{9}{5})+1=13.6$なので四捨五入すると、$14$。$\frac{5x+19}{2}=14$になる。

3. 最終的な答え

(1)

ア: 1

イ: 7

ウエ: -5

オ: -4

カ: 2

キ: 1

(2)

クケ: 9

コ: 5

サ: 19/10(または 1.9)