与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 + 8abc$ を展開し、整理して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、各項の二乗を展開します。

$a(b-c)^2 = a(b^2 - 2bc + c^2) = ab^2 - 2abc + ac^2$

$b(c-a)^2 = b(c^2 - 2ac + a^2) = bc^2 - 2abc + ba^2$

$c(a-b)^2 = c(a^2 - 2ab + b^2) = ca^2 - 2abc + cb^2$

これらの展開結果と $8abc$ を足し合わせます。

$ab^2 - 2abc + ac^2 + bc^2 - 2abc + ba^2 + ca^2 - 2abc + cb^2 + 8abc$

同類項をまとめます。具体的には、$abc$の項をまとめます。$-2abc - 2abc - 2abc + 8abc = 2abc$

したがって、

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

これを並び替えると、

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

次に、この式を因数分解することを試みます。

元の式は、

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

これは、

$(a+b)(b+c)(c+a)$ と等しくなります。

$(a+b)(bc+c^2+b^2+bc) = (a+b)(b^2+c^2+2bc) = (a+b)(b+c)^2 = (a+b)(c+b)(c+a)$

$$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc = a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+2abc$$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$