与えられた行列 $B$ を簡約階数行列に変形し、その階数を求める問題です。行列 $B$ は以下の通りです。 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 & -3 \\ 1 & 4 & -4 & -1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $B$ を簡約階数行列に変形し、その階数を求める問題です。行列 $B$ は以下の通りです。

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 & -3 \\ 1 & 4 & -4 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列に対して、行基本変形を施し、簡約階数行列に変形します。

画像に示されている行基本変形は以下の通りです。

* 2行目に1行目の2倍を加える ($R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$)

* 3行目に1行目の-1倍を加える ($R_3 \rightarrow R_3 - R_1$)

これらの操作を行うと、次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ -2+2 & 2+0 & 3-4 & -3+2 \\ 1-1 & 4-0 & -4+2 & -1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & -6 & -2 \end{pmatrix}$

次に、2行目を2で割ります ($R_2 \rightarrow \frac{1}{2}R_2$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 4 & -6 & -2 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目の4倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 4R_2$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 4-4 & -6+2 & -2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}$

次に、3行目を-2で割ります ($R_3 \rightarrow -\frac{1}{2}R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、1行目に3行目の2倍を加えます ($R_1 \rightarrow R_1 + 2R_3$)。

次に、2行目に3行目の1/2倍を加えます ($R_2 \rightarrow R_2 + \frac{1}{2}R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2+2 & 1+0 \\ 0 & 1 & -1/2+1/2 & -1/2+0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

この行列は簡約階数行列です。簡約階数行列において、0でない行の数を数えることで階数がわかります。この場合、0でない行は3つあります。

3. 最終的な答え

階数: 3