与えられた行列 $B$ を行基本変形によって簡約化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $B$ を行基本変形によって簡約化する問題です。

2. 解き方の手順

画像に書かれている手順に従って、行列 $B$ を行基本変形していきます。

まず、与えられた行列は

$$

B = \begin{pmatrix}

1 & 0 & -2 & 1 \\

-2 & 2 & 3 & -3 \\

1 & 4 & -4 & -1

\end{pmatrix}

$$

です。

(1) 2行目に1行目の2倍を足し、3行目に1行目の-1倍を足します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -2 & 1 \\

0 & 2 & -1 & -1 \\

0 & 4 & -2 & -2

\end{pmatrix}

$$

(2) 2行目を$\frac{1}{2}$倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -2 & 1 \\

0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 4 & -2 & -2

\end{pmatrix}

$$

(3) 3行目に2行目の-4倍を足します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -2 & 1 \\

0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

（画像には、この後、３行目に２をかけて $ \begin{pmatrix}

1 & 0 & -2 & 1 \\

0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$から、

$ \begin{pmatrix}

1 & 0 & -2 & 1 \\

0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

としている。本来、3行目は０行なので、この操作は不要。また、操作しても意味がない。）

(4) 1行目に3行目の2倍を足し、2行目に3行目の1倍を足す。

（上記のように3行目は0なので、1行目にも2行目にも変化がない。）

画像にある最終的な行列は、正しくない。

3. 最終的な答え

行基本変形の結果、行列は次のようになります。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -2 & 1 \\

0 & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$