与えられた行列 $B$ を簡約階数行列に変形し、その階数を求める問題です。 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 & -3 \\ 1 & 4 & -4 & -1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $B$ を簡約階数行列に変形し、その階数を求める問題です。

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 & -3 \\ 1 & 4 & -4 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列$B$に対して、行基本変形を施します。画像に示されている手順に従い、以下の操作を行います。

ステップ1: 2行目に、1行目の2倍を加える。

ステップ2: 3行目に、1行目の-1倍を加える。

計算すると、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ -2+1*2 & 2+0*2 & 3+(-2)*2 & -3+1*2 \\ 1+1*(-1) & 4+0*(-1) & -4+(-2)*(-1) & -1+1*(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 4 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

次に、2行目を1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 4 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

最後に、3行目から2行目の4倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 4-1*4 & -2-(-1/2)*4 & -2-(-1/2)*4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約階数行列は$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$となります。

この行列の階数は、0でない行の数に等しく、2です。

3. 最終的な答え

階数: 2