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1. 問題の内容
画像に記載された５つの数列の問題を解きます。
1. 初項 $a_1 = 4$、漸化式 $a_{n+1} = 4a_n - 2^{n+1}$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。
2. 初項 $a_1 = 1$、漸化式 $a_{n+1} = \frac{3a_n}{6a_n + 1}$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。
3. 初項 $a_1 = -2$、漸化式 $a_{n+1} = -3a_n - 4n + 3$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。
4. 初項 $a_1 = 1$、漸化式 $a_{n+1} = 2a_n^2$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。
5. 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = 2a_n + n$ で表されるとき、一般項 $a_n$ を $n$ で表します。
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2. 解き方の手順
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1. の問題
を解きます。
1. 漸化式を $4^{n+1}$ で割ります。
2. $b_n = \frac{a_n}{4^n}$ とおくと、$b_{n+1} = b_n - \frac{1}{2^{n+1}}$ となります。
3. $b_n$ の一般項は、$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (-\frac{1}{2^{k+1}})$
4. $b_1 = \frac{a_1}{4^1} = \frac{4}{4} = 1$ であり、$\sum_{k=1}^{n-1} (-\frac{1}{2^{k+1}}) = -\frac{1}{4} \sum_{k=0}^{n-2} (\frac{1}{2})^k = -\frac{1}{4} \frac{1-(\frac{1}{2})^{n-1}}{1 - \frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^{n-1}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2^n}$
5. したがって、$b_n = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^n}$
6. $a_n = 4^n b_n = 4^n (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^n}) = 2^{2n-1} + 2^n$
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2. の問題
を解きます。
1. 逆数をとると $\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{6a_n + 1}{3a_n} = 2 + \frac{1}{3a_n}$
2. $b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、$b_{n+1} = 2 + \frac{1}{3} b_n$
3. $b_{n+1} - 3 = \frac{1}{3} (b_n - 3)$
4. $c_n = b_n - 3$ とおくと、$c_{n+1} = \frac{1}{3} c_n$
5. $c_n$ は公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列で、$c_1 = b_1 - 3 = \frac{1}{a_1} - 3 = 1 - 3 = -2$
6. $c_n = -2 (\frac{1}{3})^{n-1}$
7. $b_n = c_n + 3 = 3 - 2 (\frac{1}{3})^{n-1} = 3 - 2 \cdot 3^{1-n}$
8. $a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{3 - 2 \cdot 3^{1-n}}$
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3. の問題
を解きます。
1. $a_{n+1} + p(n+1) + q = -3(a_n + pn + q)$ と仮定します。
2. $a_{n+1} = -3a_n - 3pn - 3q - p(n+1) - q = -3a_n - (3p+p)n - 3q - p - q$
3. $-4n = -4pn$ より、$p = 1$
4. $3 = -3q - p - q = -4q - 1$ より、$4q = -4$ なので、$q = -1$
5. $a_{n+1} + (n+1) - 1 = -3(a_n + n - 1)$
6. $a_{n+1} + n = -3(a_n + n - 1)$
7. $b_n = a_n + n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = -3 b_n$
8. $b_n$ は公比 $-3$ の等比数列で、$b_1 = a_1 + 1 - 1 = -2$
9. $b_n = -2(-3)^{n-1}$
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0. $a_n = b_n - n + 1 = -2(-3)^{n-1} - n + 1$
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4. の問題
を解きます。
1. 両辺の対数をとると、$\log_2 a_{n+1} = \log_2 (2 a_n^2) = 1 + 2 \log_2 a_n$
2. $b_n = \log_2 a_n$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n + 1$
3. $b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)$
4. $c_n = b_n + 1$ とおくと、$c_{n+1} = 2 c_n$
5. $c_n$ は公比 $2$ の等比数列で、$c_1 = b_1 + 1 = \log_2 a_1 + 1 = \log_2 1 + 1 = 0 + 1 = 1$
6. $c_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$
7. $b_n = c_n - 1 = 2^{n-1} - 1$
8. $a_n = 2^{b_n} = 2^{2^{n-1} - 1}$
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5. の問題
を解きます。
1. $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + ... + a_n = 2a_n + n$
2. $S_{n-1} = \sum_{k=1}^{n-1} a_k = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} = 2a_{n-1} + (n-1)$
3. $S_n - S_{n-1} = a_n = (2a_n + n) - (2a_{n-1} + n - 1) = 2a_n - 2a_{n-1} + 1$
4. $a_n = 2a_n - 2a_{n-1} + 1$ より、$a_n = 2a_{n-1} - 1$
5. $a_n - 1 = 2(a_{n-1} - 1)$
6. $b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_n = 2 b_{n-1}$
7. $b_n$ は公比 $2$ の等比数列で、$S_1 = a_1 = 2a_1 + 1$ より、$a_1 = -1$ なので、$b_1 = a_1 - 1 = -1 - 1 = -2$
8. $b_n = -2 \cdot 2^{n-1} = -2^n$
9. $a_n = b_n + 1 = -2^n + 1$
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