与えられた数列の一般項、または数列の和を求める問題だと考えられます。数列は $\frac{1}{1 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 9}, \frac{1}{9 \cdot 13}, \dots$ です。

1. 問題の内容

与えられた数列の一般項、または数列の和を求める問題だと考えられます。数列は $\frac{1}{1 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 9}, \frac{1}{9 \cdot 13}, \dots$ です。

2. 解き方の手順

まず、一般項を求めます。数列の各項の分母は、$(1, 5), (5, 9), (9, 13), \dots$ となっています。

分母の最初の数は $1, 5, 9, \dots$ で、これは初項1、公差4の等差数列です。第n項は $1 + (n-1)4 = 4n - 3$ となります。

分母の次の数は $5, 9, 13, \dots$ で、これは初項5、公差4の等差数列です。第n項は $5 + (n-1)4 = 4n + 1$ となります。

したがって、数列の一般項 $a_n$ は、

$$a_n = \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$$

と表されます。

次に、部分分数分解をします。

$$\frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{A}{4n-3} + \frac{B}{4n+1}$$

両辺に $(4n-3)(4n+1)$ を掛けると、

$$1 = A(4n+1) + B(4n-3)$$

$n = \frac{3}{4}$ を代入すると、

$1 = A(4(\frac{3}{4})+1) + B(0) = 4A$

$A = \frac{1}{4}$

$n = -\frac{1}{4}$ を代入すると、

$1 = A(0) + B(4(-\frac{1}{4})-3) = -4B$

$B = -\frac{1}{4}$

よって、

$$a_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right)$$

数列の和 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を計算します。

$$S_n = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right)$$

$$S_n = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{13} \right) + \dots + \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right) \right]$$

これはtelescoping sumなので、

$$S_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4n+1} \right)$$

$$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+1-1}{4n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n}{4n+1} \right)$$

$$S_n = \frac{n}{4n+1}$$

3. 最終的な答え

数列の第n項は

$a_n = \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right)$

数列の和は

$S_n = \frac{n}{4n+1}$