$(x+y)^4$ を展開する問題です。

1. 問題の内容

$(x+y)^4$ を展開する問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用います。二項定理は以下の通りです。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

この問題では $a=x$, $b=y$, $n=4$ です。したがって、

$(x+y)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} y^k$

$= \binom{4}{0}x^4y^0 + \binom{4}{1}x^3y^1 + \binom{4}{2}x^2y^2 + \binom{4}{3}x^1y^3 + \binom{4}{4}x^0y^4$

二項係数を計算します。

$\binom{4}{0} = 1$

$\binom{4}{1} = 4$

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$

$\binom{4}{4} = 1$

したがって、

$(x+y)^4 = 1 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3y + 6 \cdot x^2y^2 + 4 \cdot xy^3 + 1 \cdot y^4$

$(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$

3. 最終的な答え

$x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$