次の方程式や不等式を解きます。 (1) $\log_5 2x = -1$ (2) $\log_3 (2-x) \le 1$ (3) $\log_2 x + \log_2 (x-1) = \log_2 6$ (4) $(\frac{1}{3})^{2x+1} < 27$ (5) $2^{3x+1} = 3^{2x-1}$

1. 問題の内容

次の方程式や不等式を解きます。

(1) $\log_5 2x = -1$

(2) $\log_3 (2-x) \le 1$

(3) $\log_2 x + \log_2 (x-1) = \log_2 6$

(4) $(\frac{1}{3})^{2x+1} < 27$

(5) $2^{3x+1} = 3^{2x-1}$

2. 解き方の手順

(1) $\log_5 2x = -1$

対数の定義より、 $2x = 5^{-1}$

$2x = \frac{1}{5}$

$x = \frac{1}{10}$

(2) $\log_3 (2-x) \le 1$

真数条件より、$2-x > 0$ つまり $x < 2$。

$\log_3 (2-x) \le \log_3 3$

$2-x \le 3$

$-x \le 1$

$x \ge -1$

したがって、$-1 \le x < 2$

(3) $\log_2 x + \log_2 (x-1) = \log_2 6$

真数条件より、$x > 0$ かつ $x-1 > 0$ つまり $x > 1$。

$\log_2 x(x-1) = \log_2 6$

$x(x-1) = 6$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x-3)(x+2) = 0$

$x = 3, -2$

真数条件より、$x>1$ なので、$x = 3$

(4) $(\frac{1}{3})^{2x+1} < 27$

$(3^{-1})^{2x+1} < 3^3$

$3^{-(2x+1)} < 3^3$

$-(2x+1) < 3$

$-2x - 1 < 3$

$-2x < 4$

$2x > -4$

$x > -2$

(5) $2^{3x+1} = 3^{2x-1}$

両辺の対数をとる。底は何でも良いが、ここでは常用対数（底が10の対数）をとる。

$\log(2^{3x+1}) = \log(3^{2x-1})$

$(3x+1)\log 2 = (2x-1)\log 3$

$3x \log 2 + \log 2 = 2x \log 3 - \log 3$

$3x \log 2 - 2x \log 3 = - \log 3 - \log 2$

$x(3 \log 2 - 2 \log 3) = - (\log 3 + \log 2)$

$x = \frac{- (\log 3 + \log 2)}{3 \log 2 - 2 \log 3} = \frac{\log 6}{2 \log 3 - 3 \log 2} = \frac{\log 6}{\log 9 - \log 8} = \frac{\log 6}{\log (9/8)}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{10}$

(2) $-1 \le x < 2$

(3) $x = 3$

(4) $x > -2$

(5) $x = \frac{\log 6}{\log (9/8)}$