不等式 $5(x-a) < -2(x-3)$ について、次の問いに答える。 (1) 不等式①の解が $x=3$ を含まないときの $a$ の範囲を求める。 (2) 不等式①を満たす最大の整数の範囲を求める。

## 問題7

1. 問題の内容

不等式 $5(x-a) < -2(x-3)$ について、次の問いに答える。

(1) 不等式①の解が $x=3$ を含まないときの $a$ の範囲を求める。

(2) 不等式①を満たす最大の整数の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式①を解く。

$5(x-a) < -2(x-3)$

$5x - 5a < -2x + 6$

$7x < 5a + 6$

$x < \frac{5a+6}{7}$

不等式①の解が $x=3$ を含まないということは、$x=3$ が不等式を満たさないということである。

したがって、$3 \ge \frac{5a+6}{7}$となる。

$21 \ge 5a + 6$

$15 \ge 5a$

$3 \ge a$

よって、$a \le 3$

(2) 不等式①を満たす最大の整数を求める。

不等式①は $x < \frac{5a+6}{7}$ である。

$x$が整数であるとき、$x$が不等式を満たす最大の整数である条件は、

$\frac{5a+6}{7} - 1 < x \le \frac{5a+6}{7}$を満たす整数$x$が存在することである。

また、$x < \frac{5a+6}{7}$を満たす最大の整数を$n$とすると、

$n < \frac{5a+6}{7} < n+1$

この不等式を満たす最大の整数$n$を求める問題と解釈する。

(注記：問題文の意図が不明確であるため、複数の解釈が可能です)

3. 最終的な答え

(1) $a \le 3$

(2) 解釈が複数考えられるため、解答は以下のようになります。

$x < \frac{5a+6}{7}$を満たす最大の整数