与えられた連立方程式を逆行列を用いて解く問題です。連立方程式は2組あります。 (1) $3x + 2y = 0$ $x - 2y = 8$ (2) $x + y = -3$ $2x - y = 6$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を逆行列を用いて解く問題です。連立方程式は2組あります。

(1)

$3x + 2y = 0$

$x - 2y = 8$

(2)

$x + y = -3$

$2x - y = 6$

2. 解き方の手順

連立方程式を$Ax = b$の形に書き換え、逆行列$A^{-1}$を求めて、$x = A^{-1}b$を計算します。

(1)

行列形式で表すと

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, $x = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}$

行列$A$の行列式は、

$det(A) = (3)(-2) - (2)(1) = -6 - 2 = -8$

逆行列$A^{-1}$は、

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{-8} \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{8} & -\frac{3}{8} \end{pmatrix}$

よって、

$x = A^{-1}b = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{8} & -\frac{3}{8} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4}(0) + \frac{1}{4}(8) \\ \frac{1}{8}(0) - \frac{3}{8}(8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

したがって、$x = 2$、 $y = -3$

(2)

行列形式で表すと

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$, $x = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix}$

行列$A$の行列式は、

$det(A) = (1)(-1) - (1)(2) = -1 - 2 = -3$

逆行列$A^{-1}$は、

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$

よって、

$x = A^{-1}b = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3}(-3) + \frac{1}{3}(6) \\ \frac{2}{3}(-3) - \frac{1}{3}(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 2 \\ -2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$

したがって、$x = 1$、 $y = -4$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$, $y = -3$

(2) $x = 1$, $y = -4$