与えられた4つの行列式を、行列式の定義（組合せ乗積を用いた方法）に従って計算する問題です。 (1)は2x2の行列式、(2)も2x2の行列式、(3)は3x3の行列式、(4)はn次の行列式です。

## 回答

1. **問題の内容**

与えられた4つの行列式を、行列式の定義（組合せ乗積を用いた方法）に従って計算する問題です。

(1)は2x2の行列式、(2)も2x2の行列式、(3)は3x3の行列式、(4)はn次の行列式です。

2. **解き方の手順**

(1) 2x2の行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \times 1) - (1 \times 0)$

(2) 2x2の行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \times 1) - (1 \times 1)$

(3) 3x3の行列式

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 0 + (0 \times 1 - 1 \times 1)$

(4) n次の行列式

与えられた行列式は、対角成分がすべて1で、そのすぐ下の成分がすべて1、それ以外の成分がすべて0であるような行列です。

この行列式は、n = 1のとき1、n = 2のとき1、n = 3のとき1...なので、数学的帰納法により、任意のnに対して1であることが予想されます。

より厳密には、n次の行列式を$D_n$とおくと、第一列に関して余因子展開することで

$D_n = 1 * D_{n-1} + (-1)^{n+1} * 1 * \begin{vmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{vmatrix}$

となり、$D_{n-1}$は(n-1)次の問題と同じ行列、右の行列式は第一行で展開すれば、$(-1)^{n+1}* 1 * (-1)^{n-1} = -1$

したがって$D_n= D_{n-1} - (-1)^{n+1}*(-1)^{n-1}*(-1)^{1+n-1}= D_{n-1}$

$D_n= D_{n-1} = 1$

3. **最終的な答え**

(1) 1

(2) 0

(3) -1

(4) 1