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与えられた式 $(x^2 - 2x + 3)(x^2 - 2x - 3)$ を展開せよ。

代数学展開因数分解二次式多項式
2025/5/29

1. 問題の内容

与えられた式 (x2−2x+3)(x2−2x−3)(x^2 - 2x + 3)(x^2 - 2x - 3) を展開せよ。

2. 解き方の手順

x2−2x=Ax^2 - 2x = A とおくと、与式は (A+3)(A−3)(A + 3)(A - 3) となります。
これは和と差の積の公式 (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 が使えます。
(A+3)(A−3)=A2−32=A2−9(A + 3)(A - 3) = A^2 - 3^2 = A^2 - 9
次に AA を x2−2xx^2 - 2x に戻します。
(x2−2x)2−9(x^2 - 2x)^2 - 9
(x2−2x)2(x^2 - 2x)^2 を展開します。
(x2−2x)2=(x2)2−2(x2)(2x)+(2x)2=x4−4x3+4x2(x^2 - 2x)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(2x) + (2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2
よって、(x2−2x)2−9=x4−4x3+4x2−9(x^2 - 2x)^2 - 9 = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 9

3. 最終的な答え

x4−4x3+4x2−9x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 9

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