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与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、$A-E$ (ただし、$E$ は単位行列) および $(A-E)^2$ を計算する。

代数学線形代数行列行列の計算単位行列
2025/5/30

1. 問題の内容

与えられた行列 A=[111111111]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} に対して、A−EA-E (ただし、EE は単位行列) および (A−E)2(A-E)^2 を計算する。

2. 解き方の手順

まず、3x3の単位行列 EE は
E=[100010001]E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
で与えられる。
次に、A−EA-E を計算する。
A−E=[111111111]−[100010001]=[011101110]A-E = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
最後に、(A−E)2(A-E)^2 を計算する。
(A−E)2=(A−E)(A−E)=[011101110][011101110](A-E)^2 = (A-E)(A-E) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
=[(0⋅0+1⋅1+1⋅1)(0⋅1+1⋅0+1⋅1)(0⋅1+1⋅1+1⋅0)(1⋅0+0⋅1+1⋅1)(1⋅1+0⋅0+1⋅1)(1⋅1+0⋅1+1⋅0)(1⋅0+1⋅1+0⋅1)(1⋅1+1⋅0+0⋅1)(1⋅1+1⋅1+0⋅0)]= \begin{bmatrix} (0\cdot0+1\cdot1+1\cdot1) & (0\cdot1+1\cdot0+1\cdot1) & (0\cdot1+1\cdot1+1\cdot0) \\ (1\cdot0+0\cdot1+1\cdot1) & (1\cdot1+0\cdot0+1\cdot1) & (1\cdot1+0\cdot1+1\cdot0) \\ (1\cdot0+1\cdot1+0\cdot1) & (1\cdot1+1\cdot0+0\cdot1) & (1\cdot1+1\cdot1+0\cdot0) \end{bmatrix}
=[211121112]= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

A−E=[011101110]A-E = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
(A−E)2=[211121112](A-E)^2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}

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