与えられた4つの3次行列式の値を計算する。

1. 問題の内容

与えられた4つの3次行列式の値を計算する。

2. 解き方の手順

3次行列式は、以下の公式で計算できます。

$\begin{vmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$

(1) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

$= 1(3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 2(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) + 3(2 \cdot 1 - 3 \cdot 3)$

$= 1(6 - 1) - 2(4 - 3) + 3(2 - 9)$

$= 5 - 2 - 21 = -18$

(2) $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \end{vmatrix}$

$= 1(2 \cdot 8 - 3 \cdot 5) - 1(1 \cdot 8 - 3 \cdot 2) + 1(1 \cdot 5 - 2 \cdot 2)$

$= (16 - 15) - (8 - 6) + (5 - 4)$

$= 1 - 2 + 1 = 0$

(3) $\begin{vmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{vmatrix}$

$= 0(0 \cdot 0 - c \cdot c) - a(a \cdot 0 - c \cdot b) + b(a \cdot c - 0 \cdot b)$

$= 0 + abc + abc = 2abc$

(4) $\begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix}$

$= a(a^2 - bc) - b(ac - b^2) + c(c^2 - ab)$

$= a^3 - abc - abc + b^3 + c^3 - abc$

$= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

3. 最終的な答え

(1) -18

(2) 0

(3) 2abc

(4) $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$