黒板に書かれた数式と図に関する問題です。具体的には、以下の内容について言及されています。 * $det A \neq 0$であることの意味 * 連立一次方程式 $Ax = b$ の解の存在条件と解の自由度 * 図の場合の$KerA$と$ImA$

1. 問題の内容

黒板に書かれた数式と図に関する問題です。具体的には、以下の内容について言及されています。

* $det A \neq 0$であることの意味

* 連立一次方程式 $Ax = b$ の解の存在条件と解の自由度

* 図の場合の$KerA$と$ImA$

2. 解き方の手順

* **$det A \neq 0$であることの意味:**

$det A \neq 0$は、行列$A$が正則（逆行列を持つ）であることを意味します。これは、線形変換$A$が可逆であり、1つの$x$に対して1つの$y$が対応し、逆に1つの$y$に対して1つの$x$が対応することを意味します。

* **連立一次方程式 $Ax = b$ の解の存在条件と解の自由度:**

連立一次方程式$Ax = b$が解を持つための必要十分条件は、$rank A = rank [A \mid b]$が成立することです。ここで$[A \mid b]$は、行列$A$にベクトル$b$を付け加えた拡大係数行列です。

解が存在する場合、解の自由度は$n - rank A$です。ここで、$n$は$x$の次元（変数の個数）を表します。

黒板の記述では、$n = 2$の場合が考えられているため、解は$2 - rank A$個の任意定数を含むと書かれています。

* **図の場合の$KerA$と$ImA$:**

図から、$KerA$と$ImA$が何を表しているかを読み取る必要があります。

$KerA$は、$Ax = 0$を満たす$x$全体の集合（核）を表します。

$ImA$は、全ての$x$に対する$Ax$の集合（像）を表します。

図の詳細は不明なため、$KerA$と$ImA$を具体的に特定することはできません。

3. 最終的な答え

* $det A \neq 0$は、行列$A$が正則であること、つまり線形変換が可逆であることを意味します。

* 連立一次方程式$Ax = b$が解を持つ条件は、$rank A = rank [A \mid b]$です。解の自由度は、$n - rank A$で与えられます。

* 図の場合の$KerA$と$ImA$については、詳細な図の情報がないため、具体的な記述はできません。

上記の解説は、黒板の内容に基づいていますが、図の詳細が不明なため、最終的な答えは限定的なものとなっています。