与えられた行列 $A = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、核 (Ker A) と像 (Im A) を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ に対して、核 (Ker A) と像 (Im A) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、Ker A を求めます。 Ker A は $Ax = 0$ を満たすベクトル $x$ の集合です。

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ とすると、

$Ax = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}(x_1 + x_2) \\ \frac{1}{2}(x_1 + x_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

したがって、$x_1 + x_2 = 0$ となり、$x_2 = -x_1$ です。

よって、Ker A は $\begin{bmatrix} x_1 \\ -x_1 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ の形を持つベクトルの集合です。

次に、Im A を求めます。Im A は行列 A の列ベクトルによって張られる空間です。

$A = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ の列ベクトルは $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ です。

これらは線形従属なので、Im A は $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ によって張られる1次元の空間です。

3. 最終的な答え

Ker A = $\{ c\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \}$

Im A = $\{ c\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \mid c \in \mathbb{R} \}$