連立不等式 $\begin{cases} 7x - 5 > 13 - 2x \\ x + a \geq 3x + 5 \end{cases}$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases}

7x - 5 > 13 - 2x \\

x + a \geq 3x + 5

\end{cases}$

を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

1つ目の不等式:

$7x - 5 > 13 - 2x$

$9x > 18$

$x > 2$

2つ目の不等式:

$x + a \geq 3x + 5$

$a - 5 \geq 2x$

$x \leq \frac{a-5}{2}$

したがって、連立不等式を満たす $x$ の範囲は

$2 < x \leq \frac{a-5}{2}$

となります。

この範囲に含まれる整数 $x$ がちょうど5個であることから、整数 $x$ は $3, 4, 5, 6, 7$ である必要があります。

したがって、$7 \leq \frac{a-5}{2} < 8$ でなければなりません。

これを解きます。

$14 \leq a-5 < 16$

$19 \leq a < 21$

3. 最終的な答え

$19 \leq a < 21$