与えられた連立一次方程式を解く問題です。連立一次方程式は行列を用いて以下のように表されます。 $ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} $
2025/5/31
1. 問題の内容
与えられた連立一次方程式を解く問題です。連立一次方程式は行列を用いて以下のように表されます。
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 5 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 \\
6 \\
1
\end{bmatrix}
2. 解き方の手順
与えられた連立一次方程式を行列で表現し、掃き出し法を用いて解きます。
まず、拡大係数行列を作成します。
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 5 & | & -1 \\
1 & 0 & 2 & | & 6 \\
0 & 2 & 3 & | & 1
\end{bmatrix}
次に、行基本変形を用いて階段行列に変形します。
1行目と2行目を入れ替えます。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & | & 6 \\
2 & -1 & 5 & | & -1 \\
0 & 2 & 3 & | & 1
\end{bmatrix}
2行目から1行目の2倍を引きます。(2行目 = 2行目 - 2 * 1行目)
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & | & 6 \\
0 & -1 & 1 & | & -13 \\
0 & 2 & 3 & | & 1
\end{bmatrix}
2行目に-1をかけます。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & | & 6 \\
0 & 1 & -1 & | & 13 \\
0 & 2 & 3 & | & 1
\end{bmatrix}
3行目から2行目の2倍を引きます。(3行目 = 3行目 - 2 * 2行目)
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & | & 6 \\
0 & 1 & -1 & | & 13 \\
0 & 0 & 5 & | & -25
\end{bmatrix}
3行目を5で割ります。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & | & 6 \\
0 & 1 & -1 & | & 13 \\
0 & 0 & 1 & | & -5
\end{bmatrix}
1行目から3行目の2倍を引きます。(1行目 = 1行目 - 2 * 3行目)
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 16 \\
0 & 1 & -1 & | & 13 \\
0 & 0 & 1 & | & -5
\end{bmatrix}
2行目に3行目を足します。(2行目 = 2行目 + 3行目)
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 16 \\
0 & 1 & 0 & | & 8 \\
0 & 0 & 1 & | & -5
\end{bmatrix}
よって、, , となります。
3. 最終的な答え
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
16 \\
8 \\
-5
\end{bmatrix}