関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ の $0 \le x \le a$ における最大値を $M$, 最小値を $m$ とします。以下の3つの場合について、$M$ と $m$ をそれぞれ求めます。 (1) $0 < a < \frac{5}{2}$ (2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ (3) $a > 5$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ の $0 \le x \le a$ における最大値を $M$, 最小値を $m$ とします。以下の3つの場合について、$M$ と $m$ をそれぞれ求めます。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$

(3) $a > 5$

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ のグラフの概形を調べます。平方完成すると、

$f(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 3 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$

となり、頂点が $(\frac{5}{2}, -\frac{13}{4})$ の下に凸な放物線であることがわかります。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき：

この範囲では、頂点$(\frac{5}{2}, -\frac{13}{4})$は定義域に含まれません。よって、関数は単調減少です。

最大値 $M$ は $x=0$ のときにとり、$M = f(0) = 0^2 - 5(0) + 3 = 3$ です。

最小値 $m$ は $x=a$ のときにとり、$m = f(a) = a^2 - 5a + 3$ です。

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき：

この範囲には頂点が含まれます。

最小値 $m$ は $x=\frac{5}{2}$ のときにとり、$m = f(\frac{5}{2}) = (\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}) + 3 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 3 = -\frac{13}{4}$ です。

最大値 $M$ は $x=0$ または $x=a$ のいずれか大きい方ですが、$x=0$の方が大きいので、$x=0$の時、$M = f(0) = 0^2 - 5(0) + 3 = 3$です。

(3) $a > 5$ のとき：

この範囲では、$x=a$の時、$M$をとり、$M = f(a) = a^2 - 5a + 3$です。

最小値 $m$ は $x=\frac{5}{2}$ のときにとり、$m = f(\frac{5}{2}) = (\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}) + 3 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 3 = -\frac{13}{4}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、 $M = 3$, $m = a^2 - 5a + 3$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、 $M = 3$, $m = -\frac{13}{4}$

(3) $a > 5$ のとき、 $M = a^2 - 5a + 3$, $m = -\frac{13}{4}$