定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax - a$ の $0 \leq x \leq 2$ における最大値を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax - a$ の $0 \leq x \leq 2$ における最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4ax - a = 2(x^2 - 2ax) - a = 2(x - a)^2 - 2a^2 - a$

この二次関数の頂点は $(a, -2a^2 - a)$ です。定義域 $0 \leq x \leq 2$ における最大値を求めるには、頂点の位置によって場合分けが必要です。

(i) $a < 0$ のとき：

定義域 $0 \leq x \leq 2$ で $x$ が増加すると $y$ も増加するため、最大値は $x=2$ のときにとります。

$y(2) = 2(2^2) - 4a(2) - a = 8 - 8a - a = 8 - 9a$

(ii) $0 \leq a \leq 2$ のとき：

頂点が定義域内にあるため、軸 $x=a$ から最も遠い点で最大値をとります。

$x=0$ のとき $y(0) = -a$

$x=2$ のとき $y(2) = 8 - 9a$

$y(0) - y(2) = -a - (8 - 9a) = 8a - 8 = 8(a-1)$

* $0 \leq a < 1$ のとき：$y(0) - y(2) < 0$ なので、$y(0) < y(2)$。したがって、最大値は $y(2) = 8 - 9a$

* $a = 1$ のとき：$y(0) = y(2) = -1$。最大値は $-1$

* $1 < a \leq 2$ のとき：$y(0) - y(2) > 0$ なので、$y(0) > y(2)$。したがって、最大値は $y(0) = -a$

(iii) $a > 2$ のとき：

定義域 $0 \leq x \leq 2$ で $x$ が増加すると $y$ は減少するため、最大値は $x=0$ のときにとります。

$y(0) = -a$

以上の結果をまとめると、以下のようになります。

* $a < 0$ のとき：最大値は $8 - 9a$

* $0 \leq a < 1$ のとき：最大値は $8 - 9a$

* $a = 1$ のとき：最大値は $-1$

* $1 < a \leq 2$ のとき：最大値は $-a$

* $a > 2$ のとき：最大値は $-a$

したがって、次のように場合分けして記述できます。

* $a \leq 1$ のとき：最大値は $8 - 9a$

* $a > 1$ のとき：最大値は $-a$

3. 最終的な答え

$a \leq 1$ のとき、最大値は $8 - 9a$

$a > 1$ のとき、最大値は $-a$