$x = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ のとき、次の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ を計算する。$x$と$y$を足し合わせる前に、それぞれの分母を有理化する。

$x = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$

$x+y = (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{3}+\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$

(2) $xy$ を計算する。

$xy = (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) = 3-2 = 1$

(3) $x^2+y^2$ を計算する。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ より、 $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x^2+y^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2(1) = 4 \times 3 - 2 = 12 - 2 = 10$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 2\sqrt{3}$

(2) $xy = 1$

(3) $x^2+y^2 = 10$