与えられた3つの方程式または不等式を解く問題です。 (1) $|x-3| = 2x$ (2) $|x-4| \leq 2x+1$ (3) $|x+1| > 5x$

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式または不等式を解く問題です。

(1) $|x-3| = 2x$

(2) $|x-4| \leq 2x+1$

(3) $|x+1| > 5x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| = 2x$

絶対値記号を外すために場合分けをします。

(i) $x-3 \geq 0$、すなわち$x \geq 3$のとき、$x-3 = 2x$となるので、$x = -3$となります。しかし、$x \geq 3$を満たさないので、この場合は解なしです。

(ii) $x-3 < 0$、すなわち$x < 3$のとき、$-(x-3) = 2x$となるので、$-x+3 = 2x$となり、$3x = 3$より$x = 1$となります。これは、$x < 3$を満たします。

また、$2x \geq 0$である必要があるため、$x \geq 0$を満たす必要があります。$x = 1$はこれを満たします。

したがって、解は$x=1$です。

(2) $|x-4| \leq 2x+1$

(i) $x-4 \geq 0$、すなわち$x \geq 4$のとき、$x-4 \leq 2x+1$となるので、$-5 \leq x$となります。$x \geq 4$と合わせて、$x \geq 4$となります。

(ii) $x-4 < 0$、すなわち$x < 4$のとき、$-(x-4) \leq 2x+1$となるので、$-x+4 \leq 2x+1$となり、$3 \leq 3x$より、$x \geq 1$となります。$x < 4$と合わせて、$1 \leq x < 4$となります。

また、$2x+1 \geq 0$である必要があるため、$x \geq -\frac{1}{2}$を満たす必要があります。

(i), (ii)を合わせると、$x \geq 1$となります。

(3) $|x+1| > 5x$

(i) $x+1 \geq 0$、すなわち$x \geq -1$のとき、$x+1 > 5x$となるので、$1 > 4x$となり、$x < \frac{1}{4}$となります。$x \geq -1$と合わせて、$-1 \leq x < \frac{1}{4}$となります。

(ii) $x+1 < 0$、すなわち$x < -1$のとき、$-(x+1) > 5x$となるので、$-x-1 > 5x$となり、$-1 > 6x$より、$x < -\frac{1}{6}$となります。$x < -1$と合わせて、$x < -1$となります。

(i), (ii)を合わせると、$x < \frac{1}{4}$となります。

また、$|x+1| > 5x$ より、$5x$ はどんな値も取りうるので、$5x < 0$, すなわち $x < 0$を満たす必要があります。

したがって、$x < \frac{1}{4}$と$x<0$より、$x < \frac{1}{4}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $x=1$

(2) $x \geq 1$

(3) $x < \frac{1}{4}$