整式 $P = x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x-y)$ について、 (1) $P$ を展開し、文字 $z$ に着目して、降べきの順に整理せよ。 (2) $P$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

整式 $P = x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x-y)$ について、

(1) $P$ を展開し、文字 $z$ に着目して、降べきの順に整理せよ。

(2) $P$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

(1) $P$ を展開し、$z$ について整理します。

\begin{align*}

P &= x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x-y) \\

&= x^2y - x^2z + y^2z - xy^2 + z^2x - z^2y \\

&= x^2y - xy^2 + y^2z - x^2z + xz^2 - yz^2 \\

&= (x - y)z^2 + (y^2 - x^2)z + (x^2y - xy^2)

\end{align*}

(2) (1) で求めた式をさらに因数分解します。

\begin{align*}

P &= (x - y)z^2 + (y^2 - x^2)z + (x^2y - xy^2) \\

&= (x - y)z^2 - (x^2 - y^2)z + xy(x - y) \\

&= (x - y)z^2 - (x - y)(x + y)z + xy(x - y) \\

&= (x - y)[z^2 - (x + y)z + xy] \\

&= (x - y)(z - x)(z - y) \\

&= -(x-y)(x-z)(y-z) \\

&= (x-y)(y-z)(z-x) \times (-1)

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $z$ について整理した結果:

$P = (x - y)z^2 - (x^2 - y^2)z + (x^2y - xy^2)$

(2) 因数分解した結果:

$P = -(x-y)(y-z)(z-x)$

または

$P = (x-y)(y-z)(z-x) \times (-1)$

など、符号を調整した表現も可能です。

$P = (x-y)(z-x)(z-y)$も答えとして適切です。

符号を調整すると、$(x-y)(y-z)(z-x)$とも書けます。

$P = -(x-y)(x-z)(y-z)$と表記するのが一般的かもしれません。

$P = (x-y)(z-y)(z-x)$

$P=-(x-y)(x-z)(y-z)$

がより自然な順番です。

$P=-(x-y)(y-z)(x-z)$

とも表現できます。

要するに$(x-y)$,$(y-z)$,$(z-x)$の積で、符号が合っていれば正解です。

記号にマイナスがついてしまっているのは、展開した際の$x^2y - xy^2 + y^2z - x^2z + xz^2 - yz^2$の順番を入れ替えていないからです。

展開結果の順番を入れ替えることでマイナスをなくすことができます。

しかし問題文に「文字 $z$ に着目して、降べきの順に整理せよ。」と書いてあるので、式を変形すると、降べきの順ではなくなってしまいます。

$x^2(y-z) + y^2(z-x) + z^2(x-y) = -(x-y)(y-z)(z-x)$

なので、$P = -(x-y)(y-z)(z-x)$

が解答として最適であると考えます。

$P=(x-y)(y-z)(z-x)$としても、正解になると考えます。