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2次関数 $y = x^2 + ax - a + 3$ のグラフについて、 (1) このグラフが $x$ 軸とは共有点を持つが、直線 $y = 4x - 5$ とは共有点を持たないような $a$ の値の範囲を求める。 (2) 2次関数の最小値を $m$ とするとき、$m$ のとりうる値の範囲を求める。

代数学二次関数判別式不等式平方完成
2025/6/1

1. 問題の内容

2次関数 y=x2+ax−a+3y = x^2 + ax - a + 3 のグラフについて、
(1) このグラフが xx 軸とは共有点を持つが、直線 y=4x−5y = 4x - 5 とは共有点を持たないような aa の値の範囲を求める。
(2) 2次関数の最小値を mm とするとき、mm のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) y=x2+ax−a+3y = x^2 + ax - a + 3 のグラフが xx 軸と共有点を持つ条件は、判別式 D1≥0D_1 \ge 0 である。
D1=a2−4(−a+3)=a2+4a−12≥0D_1 = a^2 - 4(-a + 3) = a^2 + 4a - 12 \ge 0
(a+6)(a−2)≥0(a + 6)(a - 2) \ge 0
a≤−6a \le -6 または a≥2a \ge 2
y=x2+ax−a+3y = x^2 + ax - a + 3 のグラフが直線 y=4x−5y = 4x - 5 と共有点を持たない条件は、x2+ax−a+3=4x−5x^2 + ax - a + 3 = 4x - 5 が実数解を持たないことである。
x2+(a−4)x−a+8=0x^2 + (a - 4)x - a + 8 = 0 の判別式 D2<0D_2 < 0 である。
D2=(a−4)2−4(−a+8)=a2−8a+16+4a−32=a2−4a−16<0D_2 = (a - 4)^2 - 4(-a + 8) = a^2 - 8a + 16 + 4a - 32 = a^2 - 4a - 16 < 0
a2−4a−16=0a^2 - 4a - 16 = 0 の解は a=4±16+642=4±802=4±452=2±25a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 64}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{5}
したがって、 2−25<a<2+252 - 2\sqrt{5} < a < 2 + 2\sqrt{5}
以上から、a≤−6a \le -6 または a≥2a \ge 2 かつ 2−25<a<2+252 - 2\sqrt{5} < a < 2 + 2\sqrt{5} なので、
2≤a<2+252 \le a < 2 + 2\sqrt{5}
ここで25=20≈4.472\sqrt{5} = \sqrt{20} \approx 4.47 より、2<2+25≈6.472 < 2 + 2\sqrt{5} \approx 6.47
一方a≤−6a\le -6の場合、2−25<a<2+252 - 2\sqrt{5} < a < 2 + 2\sqrt{5}を満たすことはない。
(2) y=x2+ax−a+3y = x^2 + ax - a + 3 を平方完成すると、
y=(x+a2)2−a24−a+3y = (x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} - a + 3
したがって、最小値 m=−a24−a+3m = - \frac{a^2}{4} - a + 3
2≤a<2+252 \le a < 2 + 2\sqrt{5} における m=−a24−a+3m = - \frac{a^2}{4} - a + 3 の範囲を求める。
m=−14(a2+4a)+3=−14((a+2)2−4)+3=−14(a+2)2+1+3=−14(a+2)2+4m = - \frac{1}{4} (a^2 + 4a) + 3 = - \frac{1}{4} ((a + 2)^2 - 4) + 3 = - \frac{1}{4} (a + 2)^2 + 1 + 3 = - \frac{1}{4} (a + 2)^2 + 4
f(a)=−14(a+2)2+4f(a) = - \frac{1}{4} (a + 2)^2 + 4
2≤a<2+252 \le a < 2 + 2\sqrt{5} なので、4≤a+2<4+254 \le a + 2 < 4 + 2\sqrt{5}
16≤(a+2)2<(4+25)2=16+165+20=36+16516 \le (a + 2)^2 < (4 + 2\sqrt{5})^2 = 16 + 16\sqrt{5} + 20 = 36 + 16\sqrt{5}
−4≥−14(a+2)2>−9−45-4 \ge - \frac{1}{4} (a + 2)^2 > -9 - 4\sqrt{5}
0≥−14(a+2)2+4>−5−450 \ge - \frac{1}{4} (a + 2)^2 + 4 > -5 - 4\sqrt{5}
f(2)=−14(2+2)2+4=−4+4=0f(2) = - \frac{1}{4} (2 + 2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0
lim⁡a→2+25f(a)=−14(4+25)2+4=−14(36+165)+4=−9−45+4=−5−45\lim_{a \to 2 + 2\sqrt{5}} f(a) = -\frac{1}{4}(4 + 2\sqrt{5})^2 + 4 = -\frac{1}{4}(36 + 16\sqrt{5}) + 4 = -9 - 4\sqrt{5} + 4 = -5 - 4\sqrt{5}
したがって、−5−45<m≤0-5 - 4\sqrt{5} < m \le 0

3. 最終的な答え

(1) 2≤a<2+252 \le a < 2 + 2\sqrt{5}
(2) −5−45<m≤0-5 - 4\sqrt{5} < m \le 0

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