与えられた6つの2次不等式を、グラフを利用して解く問題です。不等式は以下の通りです。 (1) $-x^2 + x + 2 > 0$ (2) $-x^2 + x + 2 \le 0$ (3) $x^2 \le 4$ (4) $x^2 - 4x \le -4$ (5) $x^2 - 4x > -4$ (6) $x^2 + x \ge -1$

1. 問題の内容

与えられた6つの2次不等式を、グラフを利用して解く問題です。不等式は以下の通りです。

(1) $-x^2 + x + 2 > 0$

(2) $-x^2 + x + 2 \le 0$

(3) $x^2 \le 4$

(4) $x^2 - 4x \le -4$

(5) $x^2 - 4x > -4$

(6) $x^2 + x \ge -1$

2. 解き方の手順

各不等式を解くために、以下の手順を踏みます。

(a) 不等式を $f(x) > 0$、$f(x) < 0$、$f(x) \ge 0$、または $f(x) \le 0$ の形に変形します。

(b) $f(x) = 0$ となるような $x$ を求めます。これは、$f(x)$ のグラフが $x$ 軸と交わる点を見つけることに対応します。

(c) グラフ（放物線）を描き、$f(x)$ が正または負になる $x$ の範囲を決定します。

(1) $-x^2 + x + 2 > 0$

$x^2 - x - 2 < 0$

$(x - 2)(x + 1) < 0$

$-1 < x < 2$

(2) $-x^2 + x + 2 \le 0$

$x^2 - x - 2 \ge 0$

$(x - 2)(x + 1) \ge 0$

$x \le -1$ または $x \ge 2$

(3) $x^2 \le 4$

$x^2 - 4 \le 0$

$(x - 2)(x + 2) \le 0$

$-2 \le x \le 2$

(4) $x^2 - 4x \le -4$

$x^2 - 4x + 4 \le 0$

$(x - 2)^2 \le 0$

$(x-2)^2$は常に0以上なので、$x=2$のみが条件を満たす。

$x = 2$

(5) $x^2 - 4x > -4$

$x^2 - 4x + 4 > 0$

$(x - 2)^2 > 0$

$x \ne 2$

(6) $x^2 + x \ge -1$

$x^2 + x + 1 \ge 0$

判別式 $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$ より、$x^2 + x + 1 > 0$ は常に成り立ちます。

よって、すべての実数 $x$ で成立します。

3. 最終的な答え

(1) $-1 < x < 2$

(2) $x \le -1$ または $x \ge 2$

(3) $-2 \le x \le 2$

(4) $x = 2$

(5) $x \ne 2$

(6) すべての実数