与えられた数式を計算する問題です。問題は全部で5つあります。 (1) $2\sqrt{12} - \sqrt{75} + 4\sqrt{27}$ (2) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ (3) $(1+i)^3$ (4) $\frac{2+3i}{2-3i} - \frac{3-2i}{3+2i}$ (5) $\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}$

1. 問題の内容

与えられた数式を計算する問題です。問題は全部で5つあります。

(1) $2\sqrt{12} - \sqrt{75} + 4\sqrt{27}$

(2) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

(3) $(1+i)^3$

(4) $\frac{2+3i}{2-3i} - \frac{3-2i}{3+2i}$

(5) $\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}$

2. 解き方の手順

(1) 各項を簡単な形に変形し、計算します。

$2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \times 3} = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$

$4\sqrt{27} = 4\sqrt{9 \times 3} = 4 \times 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$

したがって、

$2\sqrt{12} - \sqrt{75} + 4\sqrt{27} = 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 12\sqrt{3}$

(2) 各分数の分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{5-3} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}$

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{5-3} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$

したがって、

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = 4 - \sqrt{15} + 4 + \sqrt{15}$

(3) 二項定理を使って展開します。

$(1+i)^3 = 1^3 + 3 \times 1^2 \times i + 3 \times 1 \times i^2 + i^3 = 1 + 3i + 3(-1) + (-i) = 1 + 3i - 3 - i$

(4) 各分数の分母を実数化します。

$\frac{2+3i}{2-3i} = \frac{(2+3i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{4 + 12i - 9}{4 + 9} = \frac{-5 + 12i}{13}$

$\frac{3-2i}{3+2i} = \frac{(3-2i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)} = \frac{9 - 12i - 4}{9 + 4} = \frac{5 - 12i}{13}$

したがって、

$\frac{2+3i}{2-3i} - \frac{3-2i}{3+2i} = \frac{-5 + 12i}{13} - \frac{5 - 12i}{13}$

(5) $\sqrt{x^2} = |x|$ を利用します。

$\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2} = |\sqrt{3}-\sqrt{5}|$

$\sqrt{3} < \sqrt{5}$ なので $\sqrt{3}-\sqrt{5} < 0$

したがって、 $|\sqrt{3}-\sqrt{5}| = -(\sqrt{3}-\sqrt{5})$

3. 最終的な答え

(1) $11\sqrt{3}$

(2) $8$

(3) $-2+2i$

(4) $\frac{-10+24i}{13}$

(5) $\sqrt{5}-\sqrt{3}$