与えられた式 $\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}$ を計算し、最も簡単な形で表現します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}$ を計算し、最も簡単な形で表現します。

2. 解き方の手順

まず、二つの分数の分母を揃えます。共通の分母は $(x-2)(x+2)$ です。

最初の分数の分子と分母に $(x+2)$ を掛けます。

$$\frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}$$

次の分数の分子と分母に $(x-2)$ を掛けます。

$$\frac{1}{x+2} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)}$$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$$\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} - \frac{x-2}{(x+2)(x-2)}$$

共通の分母でまとめます。

$$\frac{(x+2) - (x-2)}{(x-2)(x+2)}$$

分子を計算します。

$$\frac{x+2 - x + 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{4}{(x-2)(x+2)}$$

分母を計算します。$(x-2)(x+2)$ は $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の形なので、$x^2 - 2^2 = x^2 - 4$ となります。

したがって、

$$\frac{4}{x^2-4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{x^2-4}$