与えられた7つの式を展開する問題です。

はい、承知いたしました。問題の解答を作成します。

1. 問題の内容

与えられた7つの式を展開する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x(x+1)(x+2)(x+3)$

$x(x+3)(x+1)(x+2) = (x^2+3x)(x^2+3x+2)$

$y = x^2 + 3x$とおくと、

$y(y+2) = y^2 + 2y = (x^2+3x)^2 + 2(x^2+3x) = x^4 + 6x^3 + 9x^2 + 2x^2 + 6x$

$= x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$

(2) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

$(x-1)(x-4)(x-2)(x-3) = (x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$

$y = x^2-5x$とおくと、

$(y+4)(y+6) = y^2 + 10y + 24 = (x^2-5x)^2 + 10(x^2-5x) + 24 = x^4 - 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 - 50x + 24$

$= x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

(3) $(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

$(x^2-1)(x^2+1) = x^4 - 1$

$(x^4-1)(x^4+1) = x^8 - 1$

(4) $(x-1)^2(x+1)^2(x^2+1)^2$

$((x-1)(x+1))^2(x^2+1)^2 = (x^2-1)^2(x^2+1)^2 = ((x^2-1)(x^2+1))^2 = (x^4-1)^2 = x^8 - 2x^4 + 1$

(5) $(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

$(a^2-b^2)((a^2+b^2)+ab)((a^2+b^2)-ab) = (a^2-b^2)((a^2+b^2)^2-(ab)^2) = (a^2-b^2)(a^4+2a^2b^2+b^4-a^2b^2)$

$= (a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4) = a^6 + a^4b^2 + a^2b^4 - a^4b^2 - a^2b^4 - b^6 = a^6 - b^6$

(6) $(a+b+c)^2 - (a-b+c)^2$

$(a+b+c+a-b+c)(a+b+c-(a-b+c)) = (2a+2c)(2b) = 4b(a+c) = 4ab+4bc$

(7) $(x-y-1)^3$

$(x-y-1)(x-y-1)(x-y-1)$

$(x-y-1)^2 = (x-y-1)(x-y-1) = x^2 - xy - x - xy + y^2 + y - x + y + 1 = x^2 + y^2 + 1 -2xy - 2x + 2y$

$(x^2 + y^2 + 1 -2xy - 2x + 2y)(x-y-1) = x^3 + xy^2 + x - 2x^2y - 2x^2 + 2xy - x^2y - y^3 - y + 2xy^2 + 2xy - 2y^2 - x^2 - y^2 - 1 + 2xy + 2x - 2y = x^3 - 3x^2y - 3x^2 + 3xy^2 + 6xy + 3x -y^3 - 3y^2 - 3y - 1$

$= x^3 - 3x^2y - 3x^2 + 3xy^2 + 6xy + 3x - y^3 - 3y^2 - 3y - 1$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x$

(2) $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

(3) $x^8 - 1$

(4) $x^8 - 2x^4 + 1$

(5) $a^6 - b^6$

(6) $4ab+4bc$

(7) $x^3 - 3x^2y - 3x^2 + 3xy^2 + 6xy + 3x - y^3 - 3y^2 - 3y - 1$