原点を中心とする点 $A(x, y, z)$ を、4倍に拡大した後、x軸回りに30°回転させると、点 $A'(4, 2, 1)$ に移動した。このとき、以下の問いに答える。 (1) 変換行列 $E$ を求める。 (2) 変換行列 $E$ の逆行列を求める。 (3) 点 $A(x, y, z)$ を求める。

1. 問題の内容

原点を中心とする点 $A(x, y, z)$ を、4倍に拡大した後、x軸回りに30°回転させると、点 $A'(4, 2, 1)$ に移動した。このとき、以下の問いに答える。

(1) 変換行列 $E$ を求める。

(2) 変換行列 $E$ の逆行列を求める。

(3) 点 $A(x, y, z)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 変換行列 $E$ を求める。

まず、4倍の拡大を表す行列 $S$ は、

$S = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

次に、x軸回りに30°回転する行列 $R$ は、

$R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(30^\circ) & -\sin(30^\circ) \\ 0 & \sin(30^\circ) & \cos(30^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

変換行列 $E$ は、拡大してから回転するので、$E = RS$ となる。

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sqrt{3} & -2 \\ 0 & 2 & 2\sqrt{3} \end{pmatrix}$

(2) 変換行列 $E$ の逆行列を求める。

行列 $E$ の逆行列 $E^{-1}$ は、$E^{-1} = (RS)^{-1} = S^{-1}R^{-1}$ となる。

$S^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$

$R^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(-30^\circ) & -\sin(-30^\circ) \\ 0 & \sin(-30^\circ) & \cos(-30^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

$E^{-1} = S^{-1}R^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & -\frac{1}{8} & \frac{\sqrt{3}}{8} \end{pmatrix}$

(3) 点 $A(x, y, z)$ を求める。

$A' = EA$ なので、$A = E^{-1}A'$ となる。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & -\frac{1}{8} & \frac{\sqrt{3}}{8} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{2\sqrt{3}+1}{8} \\ \frac{-2+ \sqrt{3}}{8} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $E = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sqrt{3} & -2 \\ 0 & 2 & 2\sqrt{3} \end{pmatrix}$

(2) $E^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & -\frac{1}{8} & \frac{\sqrt{3}}{8} \end{pmatrix}$

(3) $A(x, y, z) = \left(1, \frac{2\sqrt{3}+1}{8}, \frac{-2+\sqrt{3}}{8}\right)$