位数が素数である群は巡回群であることを証明する。

1. 問題の内容

位数が素数である群は巡回群であることを証明する。

2. 解き方の手順

以下のように証明する。

(1) $G$を位数が素数$p$である群とする。

(2) $G$の単位元ではない任意の元$a$を選ぶ。つまり、$a \in G$, $a \neq e$ (ここで、$e$は$G$の単位元)。

(3) $a$によって生成される巡回部分群$<a>$を考える。

(4) ラグランジュの定理より、$|<a>|$は$|G|$を割り切る。つまり、$|<a>|$は$p$を割り切る。

(5) $p$は素数であるから、$|<a>|$は1または$p$である。

(6) $a \neq e$なので、$|<a>| \neq 1$である。したがって、$|<a>| = p$である。

(7) したがって、$<a>$は$G$の部分群で、$|<a>| = |G| = p$であるため、$<a> = G$である。

(8) これは、$G$が巡回群であることを意味する。なぜならば、$G$は単一の元$a$によって生成されるからである。

3. 最終的な答え

位数が素数である群は巡回群である。