以下の連立方程式を解く問題です。 $ \begin{cases} x + y - z = 4 \\ x^2 + y^2 - 2z^2 = 3 \\ x^3 + y^3 - 3z^3 = -28 \end{cases} $

1. 問題の内容

以下の連立方程式を解く問題です。

$$

\begin{cases}

x + y - z = 4 \\

x^2 + y^2 - 2z^2 = 3 \\

x^3 + y^3 - 3z^3 = -28

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1) 式 $x + y - z = 4$ より、$z = x + y - 4$　と表せる。

(2) 式 $x^2 + y^2 - 2z^2 = 3$ に $z = x + y - 4$ を代入して整理する。

$x^2 + y^2 - 2(x+y-4)^2 = 3$

$x^2 + y^2 - 2(x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y) = 3$

$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2y^2 - 32 - 4xy + 16x + 16y = 3$

$-x^2 - y^2 - 4xy + 16x + 16y = 35$

$x^2 + y^2 + 4xy - 16x - 16y + 35 = 0$

(3) 式 $x^3 + y^3 - 3z^3 = -28$ に $z = x + y - 4$ を代入して整理する。

$x^3 + y^3 - 3(x+y-4)^3 = -28$

$x^3 + y^3 - 3(x^3 + y^3 - 64 + 3x^2y + 3xy^2 - 12x^2 - 12y^2 + 48x + 48y - 12x^2 -12y^2+48x+48y-96) = -28$

$x^3 + y^3 - 3x^3 - 3y^3 + 192 - 9x^2y - 9xy^2 + 36x^2 + 36y^2 - 144x - 144y = -28$

$-2x^3 - 2y^3 - 9x^2y - 9xy^2 + 36x^2 + 36y^2 - 144x - 144y + 220 = 0$

$2x^3 + 2y^3 + 9x^2y + 9xy^2 - 36x^2 - 36y^2 + 144x + 144y - 220 = 0$

(4) ここで、$x = 1, y = 2$ と仮定すると、$z = 1 + 2 - 4 = -1$となる。

このとき、$x^2 + y^2 - 2z^2 = 1 + 4 - 2 = 3$、$x^3 + y^3 - 3z^3 = 1 + 8 + 3 = 12 \neq -28$

よって、$x=1, y=2$ は解ではない。

(5) $x=2, y=1$と仮定すると、$z = 2 + 1 - 4 = -1$となる。

このとき、$x^2 + y^2 - 2z^2 = 4 + 1 - 2 = 3$、$x^3 + y^3 - 3z^3 = 8 + 1 + 3 = 12 \neq -28$

よって、$x=2, y=1$ は解ではない。

(6) $x=3, y=-1$と仮定すると、$z=3-1-4=-2$となる。

このとき、$x^2+y^2-2z^2=9+1-8=2\neq 3$なので、解ではない。

(7) $x = -2, y = -3, z=-9$. これは明らかに不適。

(8) 別の方法を試す。$x+y = u, xy=v$ とおくと、$x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy = u^2 - 2v$ となる。

$x^2 + y^2 + 4xy - 16x - 16y + 35 = 0$より、$u^2 - 2v + 4v - 16u + 35 = 0$　だから、$u^2+2v - 16u+35 = 0$

$2v = 16u - u^2 - 35$

$v = 8u - \frac{u^2}{2} - \frac{35}{2}$

(9) $x=1, y=3, z = 0$: $1+9-0 = 10 \neq 3$. これは解ではない。

(10) $z = x+y-4$を変形して、$x+y=z+4$. これを２番目の式に代入するのは難しい。

３番目の式 $x^3+y^3-3z^3=-28$ に注目すると、$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) = (z+4)((x+y)^2 -3xy) = (z+4)((z+4)^2 - 3xy)$. これも難しそう。

(11) 正攻法で、$x^2 + y^2 + 4xy - 16x - 16y + 35 = 0$から$y$について解いてみる。

$y^2 + (4x-16)y + (x^2 - 16x + 35) = 0$

$y = \frac{-(4x-16) \pm \sqrt{(4x-16)^2 - 4(x^2-16x+35)}}{2} = \frac{-4x+16 \pm \sqrt{16x^2 - 128x + 256 - 4x^2 + 64x - 140}}{2} = \frac{-4x+16 \pm \sqrt{12x^2 - 64x + 116}}{2}$

$y = -2x+8 \pm \sqrt{3x^2 - 16x + 29}$

(12) $x = 1, y = -2+8 \pm \sqrt{3-16+29} = 6 \pm \sqrt{16} = 6 \pm 4$.

$y = 2$ or $y=10$.

$x=1, y=2$ のとき、$z = 1+2-4=-1$. このとき、$x^3+y^3-3z^3=1+8+3 = 12 \neq -28$.

$x=1, y=10$のとき、$z = 1+10-4 = 7$. このとき、$x^3+y^3-3z^3 = 1+1000-3*343 = 1001 - 1029 = -28$

$(1, 10, 7)$ は解

3. 最終的な答え

$(x, y, z) = (1, 10, 7)$