実数 $x, y, z$ に関する以下の連立方程式を解きます。 $\begin{cases} x+y-z=4 \\ x^2+y^2-2z^2=3 \\ x^3+y^3-3z^3=-28 \end{cases}$

1. 問題の内容

実数 $x, y, z$ に関する以下の連立方程式を解きます。

$\begin{cases}

x+y-z=4 \\

x^2+y^2-2z^2=3 \\

x^3+y^3-3z^3=-28

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、$x+y-z=4$ より $z=x+y-4$ を得ます。

これを他の2つの式に代入します。

$x^2+y^2-2(x+y-4)^2 = 3$

$x^2+y^2-2(x^2+y^2+16+2xy-8x-8y) = 3$

$x^2+y^2-2x^2-2y^2-32-4xy+16x+16y = 3$

$-x^2-y^2-4xy+16x+16y = 35$

$x^2+y^2+4xy-16x-16y+35=0$ ...(1)

$x^3+y^3-3(x+y-4)^3 = -28$

$x^3+y^3-3(x^3+y^3-64+3x^2y-12x^2+3xy^2-12y^2+24x+24y-3x^2(4)-3(4)^2x) = -28$

$x^3+y^3-3(x^3+y^3-64+3x^2y+3xy^2-12x^2-12y^2-24x-24y) = -28$

$x^3+y^3-3x^3-3y^3+192-9x^2y-9xy^2+36x^2+36y^2+72x+72y = -28$

$-2x^3-2y^3-9x^2y-9xy^2+36x^2+36y^2+72x+72y+220=0$

$2x^3+2y^3+9x^2y+9xy^2-36x^2-36y^2-72x-72y-220=0$ ... (2)

式 (1) より $x=1$, $y=2$ の場合, $1+4+8-16-32+35 = 0$.

$z = 1+2-4 = -1$

$x=1$, $y=2$, $z=-1$ を元の方程式に代入してみる。

$1+2-(-1)=4$

$1+4-2(1)=3$

$1+8-3(-1)=-28$, $1+8+3=12 \ne -28$. 計算ミス.

$x=-1, y=-2, z=-7$.

$x+y-z = -1-2-(-7) = -3+7=4$

$(-1)^2+(-2)^2-2(-7)^2 = 1+4-2(49) = 5-98=-93 \ne 3$

$(x, y, z) = (1, -1, -2)$

$x+y-z = 1-1-(-2) = 2 \ne 4$

$x^2+y^2+4xy-16x-16y+35 = 0$ ... (1)

$2x^3+2y^3+9x^2y+9xy^2-36x^2-36y^2-72x-72y-220=0$ ... (2)

試しに $x=y$とすると、

(1)より、$x^2+x^2+4x^2-16x-16x+35=0$

$6x^2-32x+35=0$

(2)より、$2x^3+2x^3+9x^3+9x^3-36x^2-36x^2-72x-72x-220=0$

$22x^3-72x^2-144x-220=0$

$11x^3-36x^2-72x-110=0$

3. 最終的な答え

連立方程式の解は、$(x,y,z)=(2,2,0)$

$2+2-0 = 4$

$4+4-0 = 8 \ne 3$

連立方程式の解は、$(5,-1,0)$

$x+y-z = 5-1-0 = 4$

$x^2+y^2-2z^2 = 25+1 = 26 \ne 3$

解なし