$x$ と $y$ について、以下の条件が与えられています。 $$(x-2)(y-2) = -3$$ $$xy = -1$$ このとき、$x^3 + x^2y + xy^2 + y^3$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x$ と $y$ について、以下の条件が与えられています。

$$(x-2)(y-2) = -3$$

$$xy = -1$$

このとき、$x^3 + x^2y + xy^2 + y^3$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$(x-2)(y-2) = -3$ を展開します。

$$xy - 2x - 2y + 4 = -3$$

$$xy - 2(x+y) + 4 = -3$$

$xy = -1$ を代入します。

$$-1 - 2(x+y) + 4 = -3$$

$$-2(x+y) + 3 = -3$$

$$-2(x+y) = -6$$

$$x+y = 3$$

次に、$x^3 + x^2y + xy^2 + y^3$ を変形します。

$$x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = x^3 + y^3 + x^2y + xy^2$$

$$= (x+y)(x^2-xy+y^2) + xy(x+y)$$

$$= (x+y)(x^2-xy+y^2+xy)$$

$$= (x+y)(x^2+y^2)$$

ここで、$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ なので、 $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ となります。

これを代入します。

$$(x+y)(x^2+y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 2xy)$$

$x+y = 3$ と $xy = -1$ を代入します。

$$(3)((3)^2 - 2(-1)) = 3(9+2) = 3(11) = 33$$

3. 最終的な答え

33