与えられた多項式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - x - 5y - 6$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 + 5xy + 6y^2 - x - 5y - 6$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 5xy + 6y^2$の部分を因数分解します。これは$(x+2y)(x+3y)$と因数分解できます。

次に、与えられた式を$(x+2y)(x+3y) - x - 5y - 6$と書き換えます。

ここで、$x+2y = A$ と $x+3y = B$ と置くと、$A+B = 2x + 5y$ となります。

すると、$x = \frac{3A - 2B}{3-2} = 3A - 2B$ かつ $5y = 5B-5A$ なので、 $-x-5y = -3A+2B - 5B+5A = 2A-3B$

元の式は$AB - x - 5y - 6$ となります。$-x-5y$ を $A, B$で表すことを目指します。

$A=x+2y$, $B=x+3y$ より、 $B-A = y$, $3A-2B = x$ です。

したがって、$-x-5y = -(3A-2B) - 5(B-A) = -3A+2B - 5B+5A = 2A-3B$。

元の式は $AB + 2A - 3B - 6$ となります。

これを因数分解すると、$(A-3)(B+2)$ となります。

$A=x+2y$, $B=x+3y$ を代入すると、

$(x+2y-3)(x+3y+2)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x+2y-3)(x+3y+2)$