複素数 $z_n = \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i \right)^n$ について、以下の問いに答えます。 (1) $|z_1|$ を求めます。 (2) $|z_2|$ と $\arg z_2$ を求めます。 (3) $z_n$ の実部 $x_n$ を $n$ の式で表します。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

複素数 $z_n = \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i \right)^n$ について、以下の問いに答えます。

(1) $|z_1|$ を求めます。

(2) $|z_2|$ と $\arg z_2$ を求めます。

(3) $z_n$ の実部 $x_n$ を $n$ の式で表します。

2. 解き方の手順

(1) $|z_1|$ を求める。

$z_1 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i$

$|z_1| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$

(2) $|z_2|$ と $\arg z_2$ を求める。

$z_2 = (z_1)^2$ なので、

$|z_2| = |z_1|^2 = 2^2 = 4$

$\arg z_1 = \arctan\left(\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}\right) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right) = \arctan\left(\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1}\right) = \arctan\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right) = \arctan(2+\sqrt{3})$

$2+\sqrt{3} = \tan{\frac{5\pi}{12}}$ なので、$\arg z_1 = \frac{5\pi}{12}$

$\arg z_2 = 2 \arg z_1 = 2 \cdot \frac{5\pi}{12} = \frac{5\pi}{6}$

(3) $z_n$ の実部 $x_n$ を $n$ の式で表す。

$z_n = (z_1)^n = |z_1|^n (\cos(n \arg z_1) + i\sin(n \arg z_1))$

$z_n = 2^n \left(\cos\left(\frac{5n\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{5n\pi}{12}\right)\right)$

$x_n = 2^n \cos\left(\frac{5n\pi}{12}\right)$

3. 最終的な答え

(1) $|z_1| = 2$

(2) $|z_2| = 4, \arg z_2 = \frac{5}{6}\pi$

(3) $x_n = 2^n \cos\left(\frac{5}{12} n\pi\right)$