$4x^2 + 4y^2 + z^2 = 4$ および $2x + 2y + z = 3$ を満たし、$x < y < z$ であるとき、$2xy - x - y$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$4x^2 + 4y^2 + z^2 = 4$ および $2x + 2y + z = 3$ を満たし、$x < y < z$ であるとき、$2xy - x - y$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z$ を消去します。$2x + 2y + z = 3$ より、$z = 3 - 2x - 2y$ です。

これを $4x^2 + 4y^2 + z^2 = 4$ に代入すると、

$4x^2 + 4y^2 + (3 - 2x - 2y)^2 = 4$

$4x^2 + 4y^2 + 9 + 4x^2 + 4y^2 - 12x - 12y + 8xy = 4$

$8x^2 + 8y^2 + 8xy - 12x - 12y + 5 = 0$

次に、$2xy - x - y = k$ とおき、$y$ について解きます。

$2xy - x - y = k$

$2xy - y = x + k$

$y(2x - 1) = x + k$

$y = \frac{x + k}{2x - 1}$

この $y$ を $8x^2 + 8y^2 + 8xy - 12x - 12y + 5 = 0$ に代入します。

$8x^2 + 8\left(\frac{x + k}{2x - 1}\right)^2 + 8x\left(\frac{x + k}{2x - 1}\right) - 12x - 12\left(\frac{x + k}{2x - 1}\right) + 5 = 0$

両辺に $(2x-1)^2$ をかけると、

$8x^2(2x-1)^2 + 8(x+k)^2 + 8x(x+k)(2x-1) - 12x(2x-1)^2 - 12(x+k)(2x-1) + 5(2x-1)^2 = 0$

$8x^2(4x^2 - 4x + 1) + 8(x^2 + 2kx + k^2) + 8x(2x^2 + 2kx - x - k) - 12x(4x^2 - 4x + 1) - 12(2x^2 - x + 2kx - k) + 5(4x^2 - 4x + 1) = 0$

$32x^4 - 32x^3 + 8x^2 + 8x^2 + 16kx + 8k^2 + 16x^3 + 16kx^2 - 8x^2 - 8kx - 48x^3 + 48x^2 - 12x - 24x^2 + 12x - 24kx + 12k + 20x^2 - 20x + 5 = 0$

整理すると

$32x^4 - 64x^3 + 44x^2 + (16k - 8k - 24k - 20)x + 8k^2 + 12k + 5 = 0$

$32x^4 - 64x^3 + 44x^2 - (16k + 20)x + 8k^2 + 12k + 5 = 0$

ここで、$x < y < z$ を満たす必要があります。

$x < y$ より $x < \frac{x + k}{2x - 1}$

$2x^2 - x < x + k$

$2x^2 - 2x - k < 0$

また、$y < z$ より $\frac{x + k}{2x - 1} < 3 - 2x - 2y = 3 - 2x - 2\left(\frac{x+k}{2x-1}\right)$

$\frac{x + k}{2x - 1} < \frac{(3 - 2x)(2x - 1) - 2(x + k)}{2x - 1}$

$x + k < 6x - 3 - 4x^2 + 2x - 2x - 2k$

$4x^2 - 5x + 3 + 3k < 0$

$x<y<z$を満たす実数解が存在するための$k$の範囲を求めるのは難しいので、

$x=0.1, y=0.6, z=1.7$とおくと、

$4(0.1)^2 + 4(0.6)^2 + (1.7)^2 = 4(0.01) + 4(0.36) + 2.89 = 0.04 + 1.44 + 2.89 = 4.37 > 4$

$2(0.1) + 2(0.6) + 1.7 = 0.2 + 1.2 + 1.7 = 3.1 > 3$

そのため、$x=0.1, y=0.6, z=1.7$は条件を満たしません。

$4x^2+4y^2+z^2 = 4$と$2x+2y+z=3$より、$z=3-2x-2y$なので、$4x^2+4y^2+(3-2x-2y)^2=4$

$4x^2+4y^2+9+4x^2+4y^2+8xy-12x-12y = 4$

$8x^2+8y^2+8xy-12x-12y+5 = 0$

また、$2xy-x-y=p$とおくと、$2xy-x-y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+p$

$(2x-1)(2y-1)=1+2p$

$4xy - 2x - 2y + 1 = 1 + 2p$

$2xy - x - y = p$

$k = 1/8$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4} < 2xy-x-y < \frac{5}{8}$

$2xy-x-y$の取りうる値の範囲は $-\frac{1}{4}<2xy-x-y<\frac{5}{8}$

最終的な答え：$-\frac{1}{4} < 2xy-x-y < \frac{5}{8}$