2次関数 $y = -3x^2 + 12x - 7$ の $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -3x^2 + 12x - 7$ の $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -3x^2 + 12x - 7 = -3(x^2 - 4x) - 7$

$y = -3(x^2 - 4x + 4 - 4) - 7 = -3((x-2)^2 - 4) - 7$

$y = -3(x-2)^2 + 12 - 7 = -3(x-2)^2 + 5$

これで、与えられた関数の頂点が $(2, 5)$ であることがわかりました。また、係数 $-3$ より上に凸な放物線であることが分かります。

次に、定義域 $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を考えます。

頂点のx座標である $x = 2$ は、定義域 $-1 \le x \le 3$ に含まれています。したがって、$x = 2$ のときに最大値をとります。最大値は $5$ です。

次に最小値を考えます。上に凸な放物線であるため、定義域の端点のどちらかで最小値をとります。$x = -1$ と $x = 3$ のときの $y$ の値を比較します。

$x = -1$ のとき、$y = -3(-1-2)^2 + 5 = -3(-3)^2 + 5 = -3(9) + 5 = -27 + 5 = -22$

$x = 3$ のとき、$y = -3(3-2)^2 + 5 = -3(1)^2 + 5 = -3 + 5 = 2$

$-22 < 2$ なので、$x = -1$ のとき最小値をとります。最小値は $-22$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 5

最小値: -22