$m$を実数とするとき、xy平面上の2直線 $mx - y = 0$ (1) $x + my - 2m - 2 = 0$ (2) について、以下の問いに答えます。 (1) (1), (2)は$m$の値にかかわらず、それぞれ定点A, Bを通る。A, Bの座標を求めよ。 (2) (1), (2)は直交することを示せ。 (3) (1), (2)の交点の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

$m$を実数とするとき、xy平面上の2直線

$mx - y = 0$ (1)

$x + my - 2m - 2 = 0$ (2)

について、以下の問いに答えます。

(1) (1), (2)は$m$の値にかかわらず、それぞれ定点A, Bを通る。A, Bの座標を求めよ。

(2) (1), (2)は直交することを示せ。

(3) (1), (2)の交点の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

直線(1)について、$m$の値にかかわらず通る定点を求める。

$m$について整理すると、$x \cdot m - y = 0$となる。

これが任意の$m$について成り立つためには、$x = 0$かつ$y = 0$でなければならない。

したがって、直線(1)は定点A(0, 0)を通る。

直線(2)について、$m$の値にかかわらず通る定点を求める。

$m$について整理すると、$(-2 + y) \cdot m + x - 2 = 0$となる。

これが任意の$m$について成り立つためには、$y - 2 = 0$かつ$x - 2 = 0$でなければならない。

したがって、$x = 2$かつ$y = 2$となり、直線(2)は定点B(2, 2)を通る。

(2)

直線(1)の傾きは$m$である。

直線(2)を変形すると、$my = -x + 2m + 2$となる。

$m \neq 0$のとき、$y = -\frac{1}{m}x + 2 + \frac{2}{m}$となる。

直線(2)の傾きは$-\frac{1}{m}$である。

直線(1)と(2)の傾きの積は、$m \cdot (-\frac{1}{m}) = -1$なので、直線(1)と(2)は直交する。

$m = 0$の時、直線(1)は$y=0$、直線(2)は$x-2=0$となり、$y=0$と$x=2$は直交する。

(3)

交点の軌跡を求めるために、$x$と$y$の関係式を求める。

$mx - y = 0$ (1)より、$m = \frac{y}{x}$ ($x \neq 0$)

$x + my - 2m - 2 = 0$ (2)に代入すると、

$x + \frac{y}{x}y - 2\frac{y}{x} - 2 = 0$

$x^2 + y^2 - 2y - 2x = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$

これは中心(1, 1), 半径$\sqrt{2}$の円を表す。

$x = 0$のとき、(1)より$y = 0$。

(2)に代入すると$0 - 2m - 2 = 0$となり、$m = -1$。

したがって、(0, 0)は軌跡上の点である。

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$に(0, 0)を代入すると、$(0 - 1)^2 + (0 - 1)^2 = 1 + 1 = 2$となり、(0, 0)は円周上の点である。

ただし、$x = 0$のとき、$m$は定義されないので、(1)より$y = 0$となる。

(2)より、$x + my - 2m - 2 = 0$なので、$x - 2 = 0$となる。

したがって、$x = 2$。この時、$y = 0$。

しかし、この点を上の円の方程式に代入すると、$(2 - 1)^2 + (0 - 1)^2 = 1 + 1 = 2$となり、(2, 0)は円周上の点である。

しかし、(1)より、$m$は定義されず、$x = 2$の時、$y = 0$は直線(1)上にないため、直線(1)と(2)の交点にはならない。

3. 最終的な答え

(1) A(0, 0), B(2, 2)

(2) 直線(1)と(2)の傾きの積が-1になるため、直交する。

(3) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$