ある放物線を$x$軸方向に$2$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動した結果、$y = -2x^2 - 3x + 4$になった。元の放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

ある放物線を$x$軸方向に$2$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動した結果、$y = -2x^2 - 3x + 4$になった。元の放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$軸に関して対称移動する前の放物線を求めます。$x$軸に関して対称移動するということは、$y$を$-y$に置き換えることなので、

$-y = -2x^2 - 3x + 4$

$y = 2x^2 + 3x - 4$

次に、平行移動する前の放物線を求めます。$x$軸方向に$2$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動したということは、移動前の放物線は、$x$軸方向に$-2$、$y$軸方向に$3$だけ平行移動すれば得られます。したがって、$x$を$x+2$、$y$を$y-3$に置き換えます。

$y - 3 = 2(x + 2)^2 + 3(x + 2) - 4$

$y = 2(x^2 + 4x + 4) + 3x + 6 - 4 + 3$

$y = 2x^2 + 8x + 8 + 3x + 5$

$y = 2x^2 + 11x + 13$

3. 最終的な答え

元の放物線の方程式は、$y = 2x^2 + 11x + 13$