実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2 + y^2 = 4$ より、$y^2 = 4 - x^2$ である。

これを $4x + 2y^2$ に代入すると、

$4x + 2(4 - x^2) = 4x + 8 - 2x^2 = -2x^2 + 4x + 8$

となる。

したがって、$f(x) = -2x^2 + 4x + 8$ の最大値と最小値を求めればよい。

$f(x) = -2(x^2 - 2x) + 8 = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 8 = -2(x-1)^2 + 2 + 8 = -2(x-1)^2 + 10$

ここで、$x^2 + y^2 = 4$ より、$-2 \le x \le 2$ である。

$f(x)$ は上に凸な放物線で、軸は $x = 1$ である。

$-2 \le x \le 2$ の範囲で、$x = 1$ のとき最大値 $10$ をとり、$x = -2$ のとき最小値 $f(-2) = -2(-2-1)^2 + 10 = -2(9) + 10 = -18 + 10 = -8$ をとる。

(i) $f(x)$ が最大値 $10$ をとるとき、 $x = 1$ であり、 $x^2 + y^2 = 4$ より、 $1^2 + y^2 = 4$ なので、 $y^2 = 3$ より $y = \pm \sqrt{3}$ である。

(ii) $f(x)$ が最小値 $-8$ をとるとき、 $x = -2$ であり、 $x^2 + y^2 = 4$ より、 $(-2)^2 + y^2 = 4$ なので、 $4 + y^2 = 4$ より $y^2 = 0$ より $y = 0$ である。

3. 最終的な答え

最大値: $10$ ($x=1$, $y=\pm \sqrt{3}$ のとき)

最小値: $-8$ ($x=-2$, $y=0$ のとき)