与えられた3つの式について、二重根号を外して簡単にせよという問題です。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式について、二重根号を外して簡単にせよという問題です。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

二重根号を外すには、根号の中の形を $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = a+b \pm 2\sqrt{ab}$ の形に変形する必要があります。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ について

$7+2\sqrt{10}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形に当てはめます。$a+b=7$ かつ $ab=10$ となる $a$ と $b$ を探すと、$a=5$、$b=2$ が見つかります。

したがって、

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5+2+2\sqrt{5\cdot2}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ について

まず、$6\sqrt{3}$ を $2\sqrt{ab}$ の形に変形します。

$6\sqrt{3} = 2\cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{9\cdot3} = 2\sqrt{27}$

したがって、$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$ となります。

$12-2\sqrt{27}$ を $a+b-2\sqrt{ab}$ の形に当てはめます。$a+b=12$ かつ $ab=27$ となる $a$ と $b$ を探すと、$a=9$、$b=3$ が見つかります。

したがって、

$\sqrt{12-2\sqrt{27}} = \sqrt{9+3-2\sqrt{9\cdot3}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = 3-\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ について

二重根号を外すために、根号の中に2を作る必要があります。

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

$4-2\sqrt{3}$ を $a+b-2\sqrt{ab}$ の形に当てはめます。$a+b=4$ かつ $ab=3$ となる $a$ と $b$ を探すと、$a=3$、$b=1$ が見つかります。

したがって、

$\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3+1-2\sqrt{3\cdot1}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{1})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $3-\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$