関数 $y = \frac{1}{3}x^2 - 1$ （ただし$-3 \leq x \leq 0$）の最大値と最小値を求め、それらをとるときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{3}x^2 - 1$ （ただし$-3 \leq x \leq 0$）の最大値と最小値を求め、それらをとるときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数は二次関数なので、まず頂点を求めます。次に、定義域の範囲内で最大値と最小値を調べます。

$y = \frac{1}{3}x^2 - 1$

この式は、頂点が $(0, -1)$ であることがすぐにわかります。

定義域 $-3 \leq x \leq 0$ において、

$x = 0$ のとき、 $y = \frac{1}{3}(0)^2 - 1 = -1$

$x = -3$ のとき、 $y = \frac{1}{3}(-3)^2 - 1 = \frac{1}{3}(9) - 1 = 3 - 1 = 2$

頂点の $x$ 座標が定義域に含まれているので、頂点の $y$ 座標は最小値の候補となります。

定義域の端点 $x=-3$ における $y$ の値は $2$ です。

定義域の端点 $x=0$ における $y$ の値は $-1$ です。

よって、定義域 $-3 \leq x \leq 0$ における最大値は $2$ で、最小値は $-1$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $2$ ($x = -3$ のとき)

最小値: $-1$ ($x = 0$ のとき)