問題7は、整式 $P(x)$ に関する問題です。 (1) $P(x)$ を $2x+3$ で割ったときの余りを求めます。 (2) $P(x)$ を $(2x+3)(x+2)$ で割ったときの余りを求めます。 問題8は、$P(x) = 3x^4+x^3-14x^2-4x+8$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

問題7は、整式 $P(x)$ に関する問題です。

(1) $P(x)$ を $2x+3$ で割ったときの余りを求めます。

(2) $P(x)$ を $(2x+3)(x+2)$ で割ったときの余りを求めます。

問題8は、$P(x) = 3x^4+x^3-14x^2-4x+8$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

問題7について：

(1) $P(x)$ を $2x+3$ で割ったときの余りを求める

$P(x)$ を $x+2$ で割ったときの余りが $7$ であるので、$P(-2) = 7$ が成り立ちます。

$P(x)$ を $2x^2+x+3$ で割ったときの余りが $-2x+1$ であるので、ある整式 $Q(x)$ を用いて、

$P(x) = (2x^2+x+3)Q(x) -2x + 1$ と表すことができます。

求める余りを $R$ とすると、$2x+3 = 0$ 、つまり $x = -\frac{3}{2}$ を $P(x)$ に代入した値が余り $R$ になります。

しかし、この式から $R$ の値を求めることは難しいです。

ここで、$P(x)$ を $(2x+3)(x+2)$ で割った余りを $ax+b$ とおきます。

すると、ある整式 $S(x)$ を用いて、$P(x) = (2x+3)(x+2)S(x) + ax+b$ と表すことができます。

$x = -2$ を代入すると、$P(-2) = -2a+b = 7$ が得られます。

$P(x)$ を $2x+3$ で割った余りを $R_1$ とします。

$x=-\frac{3}{2}$ を $P(x) = (2x+3)(x+2)S(x) + ax+b$ に代入すると、

$P(-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2}a + b = R_1$ が得られます。

$P(x) = (2x^2+x+3)Q(x) -2x + 1$ より、$P(x)=(x+2)(2x-3)Q(x)+(7x-5)Q(x)-2x+1$ であるので、

$P(x) = (2x^2+x+3)Q(x)-2x+1$に $x=-2$ を代入すると、$P(-2) = (8-2+3)Q(-2) + 4 + 1=7$より、$9Q(-2)+5=7$

$9Q(-2)=2$なので、$Q(-2) = \frac{2}{9}$

しかし、これでは何も得られません。

問題文より、$P(-2) = 7$、つまり、$x+2$を因数に持つということです。

$P(x)$ を $2x+3$ で割った余りを求める問題なので、$x=-\frac{3}{2}$を代入すれば良いので、

$P(-\frac{3}{2})$を求めます。

しかし、情報が足りないため、$P(-\frac{3}{2})$を特定することができません。

(2) $P(x)$ を $(2x+3)(x+2)$ で割ったときの余りを求める

(1)より、$P(x) = (2x+3)(x+2)S(x) + ax+b$ と表すことができます。

$P(-2) = 7$より、$-2a+b=7$

$P(x)$を$2x^2+x+3$で割ったとき、余りが $-2x+1$であるので、$(2x+3)(x+2) = 2x^2+7x+6$より、

$(2x^2+7x+6)-(2x^2+x+3) = 6x+3$

そのため、$-2x+1 = a(6x+3) + b = (6a)x+(3a+b)$

係数を比較すると、$6a = -2$より、$a=-\frac{1}{3}$

$3a+b = 1$より、$3(-\frac{1}{3}) + b = 1$、$b = 2$

したがって、余りは $-\frac{1}{3}x+2$

問題8について：

$P(x) = 3x^4 + x^3 - 14x^2 - 4x + 8$ の因数分解

$P(1) = 3 + 1 - 14 - 4 + 8 = -6 \neq 0$

$P(-1) = 3 - 1 - 14 + 4 + 8 = 0$ よって、$(x+1)$ を因数に持つ

$P(2) = 3(16) + 8 - 14(4) - 8 + 8 = 48 + 8 - 56 = 0$ よって、$(x-2)$ を因数に持つ

$P(x)$ を $(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$ で割ると、

$3x^2 + 4x - 4$ が得られる。

$3x^2 + 4x - 4 = (3x-2)(x+2)$

したがって、$P(x) = (x+1)(x-2)(3x-2)(x+2)$

3. 最終的な答え

問題7：

(1) 解答不能

(2) $P(x)$を $(2x+3)(x+2)$で割ったときの余りは、$-\frac{1}{3}x+2$

問題8：

$P(x) = (x+1)(x-2)(3x-2)(x+2)$