与えられた2つの行列式の値を計算する問題です。ここでは問題(2)を解きます。問題(2)は以下の行列式の値を求めるものです。 $ \begin{vmatrix} 3 & 2^2 & 1 & 1 \\ 3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\ 3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\ 3^4 & 2^5 & 1 & 7^3 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた2つの行列式の値を計算する問題です。ここでは問題(2)を解きます。問題(2)は以下の行列式の値を求めるものです。

$$

\begin{vmatrix}

3 & 2^2 & 1 & 1 \\

3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\

3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\

3^4 & 2^5 & 1 & 7^3

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式の計算を簡単にするために、行列の性質を利用します。

ステップ1: 1列目の3をくくり出し、2列目の$2^2=4$をくくり出します。

$$

\begin{vmatrix}

3 & 2^2 & 1 & 1 \\

3^2 & 2^3 & 1 & 7 \\

3^3 & 2^4 & 1 & 7^2 \\

3^4 & 2^5 & 1 & 7^3

\end{vmatrix}

= 3 \cdot 4 \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

3 & 2 & 1 & 7 \\

3^2 & 2^2 & 1 & 7^2 \\

3^3 & 2^3 & 1 & 7^3

\end{vmatrix}

= 12 \begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

3 & 2 & 1 & 7 \\

9 & 4 & 1 & 49 \\

27 & 8 & 1 & 343

\end{vmatrix}

$$

ステップ2: 1列目を基準にして、2,3,4列目から1列目を引きます。

$$

12 \begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\

3 & -1 & -2 & 4 \\

9 & -5 & -8 & 40 \\

27 & -19 & -26 & 316

\end{vmatrix}

$$

ステップ3: 1行1列目の成分が1なので、残りの3x3行列の行列式を計算します。

$$

12 \begin{vmatrix}

-1 & -2 & 4 \\

-5 & -8 & 40 \\

-19 & -26 & 316

\end{vmatrix}

$$

ステップ4: 1行目を基準にして、2,3行目を簡略化します。2行目から1行目の5倍を引きます。3行目から1行目の19倍を引きます。

$$

12 \begin{vmatrix}

-1 & -2 & 4 \\

0 & 2 & 20 \\

0 & 12 & 240

\end{vmatrix}

$$

ステップ5: 1列目を基準にして計算すると

$$

12 (-1) \begin{vmatrix}

2 & 20 \\

12 & 240

\end{vmatrix} = -12 (2 \cdot 240 - 20 \cdot 12) = -12 (480 - 240) = -12(240) = -2880

$$

3. 最終的な答え

-2880