放物線 $C: y = x^2 - 3x - 1$ と直線 $l: y = kx - (k^2 + 1)$ が異なる2点P, Qで交わるような $k$ の範囲、線分PQの中点Mの座標、および $k$ の値が変化するときの、中点Mの軌跡の方程式とその $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 3x - 1$ と直線 $l: y = kx - (k^2 + 1)$ が異なる2点P, Qで交わるような $k$ の範囲、線分PQの中点Mの座標、および $k$ の値が変化するときの、中点Mの軌跡の方程式とその $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 3x - 1$ と $y = kx - (k^2 + 1)$ を連立して、$y$ を消去すると、

$x^2 - 3x - 1 = kx - (k^2 + 1)$

$x^2 - (k+3)x + k^2 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解をもつための条件は、判別式 $D > 0$ です。

$D = (k+3)^2 - 4k^2 > 0$

$k^2 + 6k + 9 - 4k^2 > 0$

$-3k^2 + 6k + 9 > 0$

$k^2 - 2k - 3 < 0$

$(k-3)(k+1) < 0$

$-1 < k < 3$

(2) 2点P, Qの $x$ 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = k + 3$

したがって、線分PQの中点Mの $x$ 座標は $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{k+3}{2}$

これを $x$ とおくと、$k = 2x - 3$

中点Mの $y$ 座標は、直線 $l$ 上にあるので、

$y = kx - (k^2 + 1) = (2x-3)x - ((2x-3)^2 + 1)$

$y = 2x^2 - 3x - (4x^2 - 12x + 9 + 1) = 2x^2 - 3x - 4x^2 + 12x - 10$

$y = -2x^2 + 9x - 10$

(3) $k$ の範囲は $-1 < k < 3$ であったので、

$k = 2x - 3$ より、

$-1 < 2x - 3 < 3$

$2 < 2x < 6$

$1 < x < 3$

3. 最終的な答え

$k$ の範囲: $-1 < k < 3$

中点Mの $x$ 座標: $\frac{k+3}{2}$

中点Mの $y$ 座標: $-2x^2 + 9x - 10$ (または $kx - (k^2 + 1)$に$k=2x-3$を代入した式)

中点Mの軌跡の方程式: $y = -2x^2 + 9x - 10$

$x$ の範囲: $1 < x < 3$