連立不等式 $y \geq |2x+1|$ $2x - 3y + 9 \geq 0$ の表す領域をDとするとき、領域Dを図示し、点$(x, y)$が領域D内を動くとき、$x^2 - 4x + y^2$の最大値Mと最小値mを求め、また、M, mを与えるD内の点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

連立不等式

$y \geq |2x+1|$

$2x - 3y + 9 \geq 0$

の表す領域をDとするとき、領域Dを図示し、点$(x, y)$が領域D内を動くとき、$x^2 - 4x + y^2$の最大値Mと最小値mを求め、また、M, mを与えるD内の点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 領域Dを図示する。

$y \geq |2x+1|$を場合分けして考える。

$2x + 1 \geq 0$のとき、つまり$x \geq -\frac{1}{2}$のとき、$y \geq 2x+1$

$2x + 1 < 0$のとき、つまり$x < -\frac{1}{2}$のとき、$y \geq -2x-1$

$2x - 3y + 9 \geq 0$より、$y \leq \frac{2}{3}x + 3$

これらの不等式を図示する。境界線を含む。

(2) $x^2 - 4x + y^2 = k$とおき、これを変形する。

$(x - 2)^2 + y^2 = k + 4$

これは中心$(2, 0)$、半径$\sqrt{k+4}$の円を表す。$k+4 \geq 0$、つまり$k \geq -4$。

この円が領域Dと共有点を持つときのkの最大値と最小値を求める。

まず、$y = 2x+1$と$2x - 3y + 9 = 0$の交点を求める。

$2x - 3(2x+1) + 9 = 0$より、$-4x + 6 = 0$、$x = \frac{3}{2}$、$y = 2(\frac{3}{2}) + 1 = 4$

交点は$(\frac{3}{2}, 4)$

次に、$y = -2x-1$と$2x - 3y + 9 = 0$の交点を求める。

$2x - 3(-2x-1) + 9 = 0$より、$8x + 12 = 0$、$x = -\frac{3}{2}$、$y = -2(-\frac{3}{2}) - 1 = 2$

交点は$(-\frac{3}{2}, 2)$

円の中心$(2, 0)$と$(\frac{3}{2}, 4)$の距離は$\sqrt{(\frac{3}{2}-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 16} = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$

円の中心$(2, 0)$と$(-\frac{3}{2}, 2)$の距離は$\sqrt{(-\frac{3}{2}-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + 4} = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$

円$(x-2)^2 + y^2 = k+4$が点$(\frac{3}{2}, 4)$を通るとき、$k+4 = \frac{65}{4}$、$k = \frac{65}{4} - 4 = \frac{49}{4}$

円$(x-2)^2 + y^2 = k+4$が点$(-\frac{3}{2}, 2)$を通るとき、$k+4 = \frac{65}{4}$、$k = \frac{65}{4} - 4 = \frac{49}{4}$

よって、最大値$M = \frac{49}{4}$を与える点は$(\frac{3}{2}, 4)$と$(-\frac{3}{2}, 2)$

円が$y = -2x - 1$に接するとき、円の中心$(2, 0)$から直線$2x + y + 1 = 0$までの距離は、

$\frac{|2(2) + 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

よって$k+4 = 5$、$k = 1$

接点は$2x + y + 1 = 0$上の点であるから、$y = -2x - 1$

$(x-2)^2 + (-2x-1)^2 = 5$

$x^2 - 4x + 4 + 4x^2 + 4x + 1 = 5$

$5x^2 = 0$、$x = 0$、$y = -1$

接点は$(0, -1)$

$x^2 - 4x + y^2 = 0 - 0 + 1 = 1$

円が$y = 2x + 1$に接するとき、円の中心$(2, 0)$から直線$2x - y + 1 = 0$までの距離は、

$\frac{|2(2) - 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

接点は$(0, 1)$

円の中心$(2,0)$を通り、$y = \frac{2}{3}x + 3$に垂直な直線を考えると、$y = -\frac{3}{2}(x - 2)$、$y = -\frac{3}{2}x + 3$

$y = \frac{2}{3}x + 3$と$y = -\frac{3}{2}x + 3$の交点は$(0, 3)$

円の中心$(2, 0)$と$(0, 3)$の距離は$\sqrt{(2-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

円が$(0, 3)$を通るとき、$k + 4 = 13$、$k = 9$

$(x-2)^2 + y^2 = k+4$と$y = 0$が接するとき、$k+4 = 4$、$k = 0$、$(x-2)^2 = 4$、$x = 0, 4$

$(0, 0)$は領域Dに含まれないが、$(4, 0)$は領域Dに含まれる。

$x = 4$、$y = 0$のとき、$x^2 - 4x + y^2 = 16 - 16 + 0 = 0$

よって、最小値$m$を与える点は、線分$2x-3y+9=0$と、$y=|2x+1|$の交点付近になると予想できる。

点$(-3/2, 2)$で最小値をとる可能性がある。このとき、$x^2-4x+y^2 = 9/4+6+4 = 49/4 > 0$

y = 0のとき、 $2x + 9 \geq 0$より、$x \geq -9/2$

$x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$

$x = -1/2$のとき、$(-1/2)^2 - 4(-1/2) = 1/4 + 2 = 9/4$

$(2, 0)$と$y = |2x+1|$との交点を考えると、$0 = |2x+1|$より、$x=-1/2$

この点は領域Dに含まれるので、この点は候補。

最小値は、円$(x-2)^2 + y^2 = k+4$が$y = |2x+1|$と接する場合。

この時、$(x-2)^2 + (2x+1)^2 = k+4$となる。

$5x^2 + 5 = k+4$、$k = 5x^2 + 1 \geq 1$.

最小値m=1を与える点の座標は(0, -1),(4, 0).

3. 最終的な答え

最大値: $M = \frac{49}{4}$、与える座標: $(\frac{3}{2}, 4), (-\frac{3}{2}, 2)$

最小値: $m = 1$、与える座標: $(0, -1)$