整式 $x^{2024}$ を $x^2 - 1$ で割った余りを求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $x^{2024}$ を $x^2 - 1$ で割った余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^{2024}$ を $x^2 - 1$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ とすると、

$$x^{2024} = (x^2-1)Q(x) + ax + b$$

と表せます。ここで、$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ であることを利用します。

$x=1$ を代入すると、

$$1^{2024} = (1^2 - 1)Q(1) + a(1) + b$$

$$1 = 0 + a + b$$

$$a + b = 1 \quad \cdots (1)$$

$x=-1$ を代入すると、

$$(-1)^{2024} = ((-1)^2 - 1)Q(-1) + a(-1) + b$$

$$1 = 0 - a + b$$

$$-a + b = 1 \quad \cdots (2)$$

(1) + (2) より、

$$(a+b) + (-a+b) = 1 + 1$$

$$2b = 2$$

$$b = 1$$

(1) に $b = 1$ を代入すると、

$$a + 1 = 1$$

$$a = 0$$

したがって、余りは $ax + b = 0x + 1 = 1$ となります。

3. 最終的な答え

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