数列 $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$ が漸化式で定義される。放物線 $y = a_n x^2 + 2b_n x + c_n$ を $H_n$ とし、$a_n x^2 + 2b_n x + c_n = 0$ の判別式を $D_n$ とする。以下の問いに答える。 (1) $D_{n+1}$ を $a_n, b_n, c_n$ で表せ。 (2) $H_n$ は $x$ 軸と2点で交わることを示せ。 (3) $H_n$ と $x$ 軸の交点を $P_n, Q_n$ とする。$\sum_{k=1}^{n} \overline{P_k Q_k}$ を求めよ。ただし、$\overline{P_k Q_k}$ は点 $P_k$ と点 $Q_k$ の距離を表す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$ が漸化式で定義される。放物線 $y = a_n x^2 + 2b_n x + c_n$ を $H_n$ とし、$a_n x^2 + 2b_n x + c_n = 0$ の判別式を $D_n$ とする。以下の問いに答える。

(1) $D_{n+1}$ を $a_n, b_n, c_n$ で表せ。

(2) $H_n$ は $x$ 軸と2点で交わることを示せ。

(3) $H_n$ と $x$ 軸の交点を $P_n, Q_n$ とする。$\sum_{k=1}^{n} \overline{P_k Q_k}$ を求めよ。ただし、$\overline{P_k Q_k}$ は点 $P_k$ と点 $Q_k$ の距離を表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$D_n$ の定義から、$D_n = b_n^2 - a_n c_n$ である。

$D_{n+1} = b_{n+1}^2 - a_{n+1} c_{n+1}$ である。

$a_{n+1} = 4 a_n$, $b_{n+1} = b_n + 2 a_n$, $c_{n+1} = \frac{c_n}{4} + a_n + b_n$ であるから、

\begin{align*}

D_{n+1} &= (b_n + 2 a_n)^2 - 4 a_n \left( \frac{c_n}{4} + a_n + b_n \right) \\

&= b_n^2 + 4 a_n b_n + 4 a_n^2 - a_n c_n - 4 a_n^2 - 4 a_n b_n \\

&= b_n^2 - a_n c_n

\end{align*}

よって、$D_{n+1} = b_n^2 - a_n c_n = D_n$.

(2)

$a_1 = 2$, $b_1 = 3$, $c_1 = 4$ なので、$D_1 = b_1^2 - a_1 c_1 = 3^2 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1 > 0$.

(1) より、$D_{n+1} = D_n$ なので、$D_n = D_1 = 1 > 0$ である。

したがって、$H_n$ は $x$ 軸と2点で交わる。

(3)

$H_n$ と $x$ 軸の交点 $P_n, Q_n$ の $x$ 座標は、$a_n x^2 + 2 b_n x + c_n = 0$ の解である。

解の公式より、

$x = \frac{-2b_n \pm \sqrt{4b_n^2 - 4a_n c_n}}{2a_n} = \frac{-b_n \pm \sqrt{b_n^2 - a_n c_n}}{a_n} = \frac{-b_n \pm \sqrt{D_n}}{a_n}$

したがって、$\overline{P_n Q_n} = \left| \frac{-b_n + \sqrt{D_n}}{a_n} - \frac{-b_n - \sqrt{D_n}}{a_n} \right| = \left| \frac{2 \sqrt{D_n}}{a_n} \right| = \frac{2 \sqrt{1}}{a_n} = \frac{2}{a_n}$

$a_{n+1} = 4 a_n$ より、$a_n$ は公比4の等比数列である。$a_1 = 2$ より、$a_n = 2 \cdot 4^{n-1} = 2^{2n-1}$.

$\sum_{k=1}^{n} \overline{P_k Q_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{a_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{2 \cdot 4^{k-1}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4^{k-1}} = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{4^k}$

これは初項1, 公比1/4の等比数列の和なので、

$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{4^k} = \frac{1 - \left( \frac{1}{4} \right)^n}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1 - \frac{1}{4^n}}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \left( 1 - \frac{1}{4^n} \right) = \frac{4}{3} \left( 1 - \frac{1}{4^n} \right)$.

3. 最終的な答え

(1) $D_{n+1} = b_n^2 - a_n c_n$

(2) $D_n = 1 > 0$ より、$H_n$ は $x$ 軸と2点で交わる。

(3) $\sum_{k=1}^{n} \overline{P_k Q_k} = \frac{4}{3} \left( 1 - \frac{1}{4^n} \right)$